12316421151571811241713922081912653102225五五图但你只要用一张狭长的纸条，将它的一端与另一端的反面粘合在一起成一个纸环，纸有正反两面，但这种环却没有正反之分。若一只蚂蚁想从纸的一面爬到另一面，肯定得走边界。但在这个纸环上，蚂蚁却可以不穿越边界，自由自在地从这一面爬到另一面，假如把这个纸环沿中线剪开，并不会一分为二，而是成为一个较长的纸环。若再沿这个纸环的中间剪开，就会成为两个互串的纸环。
在这种纸环的这种特殊曲面上修建九条公路是完全可能，可用实验证明。取一张狭长的纸条，在纸的正反面按下图（1）（2）所示的方法画好（其中A、B、C代表三个居民区，E、F、G代表三个商店），然后将这张纸做成上述的纸环，辖接这九条公路，这九条公路绝不会相交。
这奇妙的纸环所创造的奇迹是由18世纪时的几何学家墨比乌斯发现的，所以叫做墨比乌斯纸环。
“科克曼女生问题”
我国包头市第九中学的一位物理教师，在20世纪60年代独立地解决了科克曼女生问题，以后又解决了斯坦纳三元系问题，闻名中外。他就是数学家陆家羲。
1850年，英国人科克曼提出下列问题：一位女教师带领15名女生每天作例行散步。她把女生按3人一行排成5行，在同一行中的3个女生彼此称为同伴。现问：能否作出一个连续7天的计划，使得每一个女生和其他同学只同伴一次？这就是原始的科克曼女生问题。
后来，人们把这个问题一般化：设有v个元素的集合X，每3个一组，分成b组，如果要求X中每一对元素必同在一个且仅在一个三元组中，是否能够办得到？这就是现称的科克曼女生问题，而最初的科克曼女生问题是它的一个特例，即v=15，b=7×5=35的情况。
一般的情形我们不讨论了。下面介绍一个最简单的特例，v=7，b=7的情形。它可以有以下的三元组：
（1，2，3）；
（2，5，4）；
（3，6，4）；
（4，7，1）；
（3，5，7）；
（1，5，6）；
（2，7，6）。
用图表示，它正好构成一个等边三角形的三条边、三条中线和一个内切圆。每两个数字必在一个三元组中同时出现，且只有一次。对原始的科克曼女生问题（v=15，b=35），你不妨也做做看。
什么是“3x+1问题”
请你随意说出一个自然数，记为x，利用这个自然数，我们可以构造一个新的自然数y，方法如下：
y=3x+1，若x是奇数；
x2，若x是偶数。
在数学上，这样从任意一个自然数出发，按照确定的规则得到另一个自然数（它与原先的自然数可以相同，也可以不同），称为对自然数施行了一个变换。例如，根据变换规则，18变成9，9变成28，等等。问题在于，从某一个自然数出发，不断地这样变换下去，会出现什么样的结果呢？这是一个有趣的问题，也是一个非常吸引人的数学游戏。
图1下面我们以自然数18为例，来看看这样连续变换的结果。如图1所示，最后出现了循环：4214。再看看奇数，例如21，如图2所示，最后还是出现了同样的结果。
起初，这纯粹是个数学游戏，在美国某些地方图2流行。后来传到欧洲，又由日本人角谷传到亚洲。现在，它已在世界各国广泛流传。人们甚至动用了计算机，试遍了从1到7×1011所有的自然数，结果都是最后出现4214…的循环。这就是“3x+1问题”，也称为“科拉兹问题”、“叙拉古问题”或“角谷问题”。但是，这个结论却还没法证明，而且范围也仅限于自然数，不能放宽到整数。你不妨自己试试零和负数的情况，看看会出现什么样的结果？
“渡河问题”有几解
有一则古老的智力游戏题：有一个人带着一只狼、一只羊、一筐卷心菜来到河边（这里假设狼是不吃人的）。河边正好有一条空着的小船。那人想将狼、羊、卷心菜都带到河的对岸去。可是船很小，每次都只能让他带走一样东西，如果带两样东西上船，船就会沉没。另一方面，如果没人照管，狼会吃掉羊，羊又很喜欢吃卷心菜，所以，狼与羊、羊与菜，在人不在的情况下，是不能放在一起的。怎么办呢？他应当采取什么样的渡河方案，才能把狼、羊、菜都安全地带到对岸去呢？
这个问题称为“渡河问题”，也有人称之为“狼、羊、菜问题”。对于多数人，要解决这个问题是不会有什么困难的，试上几次，就能给出一个符合要求的答案。但是，你能说出，该题共有多少解吗？人将狼、羊、卷心菜都安全地带到河的对岸去，至少需要摆渡几次呢？
先想一想，可以允许出现的状态有几种，也就是说不会有狼吃羊、羊吃菜现象的状态有几种。动动脑筋，你就会得到以下的结果：状态此岸对岸1人、狼、羊、菜2人、狼、羊菜3人、狼、菜羊4人、羊、菜狼5人、羊狼、菜6狼、菜人、羊7狼人、羊、菜8羊人、狼、菜9菜人、狼、羊10人、狼、羊、菜第1种状态就是我们的初始状态，而第10种状态是我们要达到的最终状态。人划着船，每渡河一次，就会引起一次状态的改变。第一步，人要带一样东西过河，则河的这边只留下两样东西（表中的5、6状态），只能是第6种状态，即人带羊过河。第二步，人把船划回来，即呈第3种状态。第三步，人再带一样东西过河，对岸可以出现两种情况（表中的7、9状态），即可以有两种方案。我们先来看第一种，人带菜过河，即第7种状态。第四步，这次人不可能空船回来，因为羊会吃了菜，所以人必须带一样东西划船回来，当然不可能是菜，否则就等于取消第三步，回到第3种状态。因此人将羊又带回去，于是呈现的是第2种状态。第五步，人带狼过河（羊刚带回来，再带回去岂不重复），现在是第8种状态。第六步，这次人可以空船回来了，因为狼可以和菜在一起，即第5种状态。第七步，人带羊过河，大功告成。
按照这种方法，第二种方案请你自己完成。你会发现，也是用了七步，也就是说，人要把狼、羊、菜都安全地带到河对岸去，至少要摆渡七次，而且，如果要求每种状态不重复出现，渡河问题只有两解。
“盈不足术”
如果有人出这样一道题：4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱？你会毫不费力地回答：每人应出3元。从代数的角度来看，这只不过是解方程4x=12而已，非常简单。但令人惊奇的是，象px-q=0这种简单的一次方程问题，在古代却要大费周折，用相当麻烦的办法来解决。
在中世纪的欧洲，为了解px-q=0这种类型的问题，有时要用到所谓“双设法”，即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是：设a1和a2是x值的两个猜测数，b1和b2是误差，这时有a1p-q=b1（1）a2p-q=b2（2）（1）-（2）得p（a1-a2）=b1-b2，p=b1-b2a1-a2。
（1）×a2-（2）×a1，得-q（a2-a1）=a2b1-a1b2即q=a2b1-a1b2a1-a2因此，x=qp=a2b1-a1b2b1-b2是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前，“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法，并得到广泛的应用。十三世纪著名的意大利数学家斐波那契，最早介绍了这种方法，并把它叫做“阿尔-契丹耶（elchataym）”，这显然是阿拉伯语的音译。因为在11-13世纪，这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视，并称之为“契丹算法”。另一方面，我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”，实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来，“双设法”追本溯源应该来自中国，来自中国古代的“盈不足术”。我国的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲，在欧洲数学发展中起了重要的作用。
“盈不足”又称“盈肉”（róu），是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法，“盈”就是“多”，“不足”就是“少”。我国古代数学名著《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”，其中第一个问题是：“今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4。问人数、物价各几何？”这道题的题意是：现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元。问人数和物价是多少？《九章算术》给出了这个问题的一般解法，我们用现在的代数式来表示：设每人出a1，盈（或不足）b1；每人出a2，盈（或不足）b2。其中，在盈的情况下，b1，b2＞0，不足时，b1，b2＜0。于是，人数p或物价q可由下列公式计算出来：
p=b1-b2a1-a2q=a2b1-a1b2a1-a2
在上述问题中，由这两个公式可得人数p=7（人），物价q=53（元）。
“盈不足术”是中国古代数学的一项杰出成就。用“盈不足”算法，不仅能解决盈亏类问题，而且还能解决一些较复杂的问题。例如，设好地一亩产粮300斤，次地七亩产粮500斤；现在有一顷地共产粮1万斤；问好地和次地各有多少亩？这道题虽然没有给出“盈”和“不足”的数值，但可以假定有好地20亩，次地80亩，于是，可算出这种情况应多产粮171427斤。如果假定有好地10亩，次地90亩，则应少产粮57137。因此，根据上述公式即可算出好的有12亩半，次地有87亩半。
当然，应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识，很容易解决日常遇到的算术难题，不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内，有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。
牛顿问题
牛顿是17世纪英国最著名的数学家。他不仅勇于探索高深的数学理论，也很重视数学的普及教育，曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为：“学习科学时，题目比规则还有用些。”所以在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题，用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道著名的习题。
“有3块草地，面积分别是313顷、10顷和24顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地可以供12头牛吃4个星期，第二块草地可以供21头牛吃9个星期，那么，第三块草地恰好可以供多少牛吃18个星期？”
这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里，被牛吃过的草地还会长出新的青草来，而这青草的生长量，又因时间的长短、面积的大小而各不相同！
牛顿潜心研究过这个题目，发现好几种不同的解法。他认为，下面这种比例解法最为有趣。
首先，假设草地上的青草被牛吃过以后不再生长。因为“313顷草地可以供12头牛吃4个星期”，按照这个比例，10顷草地就可以供8头牛吃18个星期，或者说可以供16头牛吃9个星期。
由于实际上青草被牛吃过以后还会生长，所以题中说：“10顷草地可以供四头牛吃9个星期。”把这两个结论比较一下就会发现，同样是10顷草地，同样是9个星期，却可以多养活21-16=5头牛。
这5头牛的差额表明，在9个星期的后5周里，10顷草地上新生的青草可供5头牛吃9个星期。也就是说，可以供25头牛吃18个星期。
那么，在18个星期的后14周里，10顷草地上新生的青草可供多少头牛吃18个星期呢？5∶14=25∶？，不难算出答案是7头牛。
接下来综合考虑18个星期的各种情况。
前面已经算出，假定青草不生长时，10顷草地可以供8头牛吃18个星期；考虑青草生长时，10顷草地上新生的青草可以供7头牛吃18个星期。因此，10顷草地实际可以供8+7=15头牛吃18个星期。按照这个比例，就不难算出24顷草地可以供多少头牛吃18个星期了。
10∶24=15∶？
显然，“？”处应填36，36就是整个题目的答案。
欧拉问题
无独有偶。大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，为学生编写数学课本。尤其感人的是，1770年，年迈的欧拉双目都已失明了，仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本著作出版后，很快就被译成几种外国文字流传开来，直到20世纪，有些学校仍然用它作基本教材。
为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传甚广。例如，在各个国家的数学课外书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。
“两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚15枚铜币。’第二个农妇回答说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就只能赚623枚铜币。’问两个农妇各带了多少只鸡蛋？”
历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前3世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：