他们要在跷跷板上比个高低，女孩子占左边，男孩子占右边。只见女孩子坐上去一个，那边男孩子上去一个又给压了下来。连续3个女孩子坐在左边板上，3个男孩子那边又沉沉地压下来。这时第4个女孩子再坐上去，左边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了。
正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那3个男孩子说：“我来帮你们。”于是，第5个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，男孩子这边反败为胜。
女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了。”于是，他们之间达成了一个协议：女孩子们下去3个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道。这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那3个男孩子还是赢了。试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？
解答：
假设：女孩子用y表示（体重为y公斤）；
男孩子用x表示（体重为x公斤）：
新来的男孩子用w表示（体重为w公斤）。
那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示：
5y<w+3x（1）
w+2y<；3x（2）
由（1）式，得到：
w>；5y-3x（3）
由（2）式，得到：
w<；3x-2y（4）
由（3）式和（4）式，得到：
5y-3x<w<3x-2y
因为：x=30公斤，y=25公斤
所以：35公斤<w<40公斤
新来的男孩子，他的体重在35公斤到40公斤之间。
三等份角问题
只准用直尺和圆规，你能将一个任意的角两等份吗？
这是一个很简单的几何作图题。几千年前，数学家们就已掌握了它的作图方法。
在纸上任意画一个角，以这个角的顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出这段弧与两条边的交点A、B。
然后，分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些，这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。
最后，用直尺将O点与C点联接起来。不难验证，直线·C已经将这个任意角分成了相等的两部分。
显然，采用同样的方法，是不难将一个任意角4等份、8等份或者16等份的；只要有耐心，将一个任意角512等份或者1024等份，也都不会是一件太难的事情。
那么，只准用直尺与圆规，能不能将一个任意3角等份呢？
这个题目看上去也很容易，似乎与两等份角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊人见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出一个符合题意的图形来！
由2等份到3等份，难道仅仅由于这么一点小小的变化，一道平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫？
这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自己的智力。
阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角，他以这个角的顶点0为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。
然后，阿基米德移动直尺，使C点在A·的延长线上移动，使P点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动，将C、P、B三点连接起来。
接下来，阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，作直线OD。
可以检验，AOD正好是原来的角A·B的1／3。也就是说，阿基米德已经将一个任意角分成了3等份。
但是，人们不承认阿基米德解决了三等份角问题。
为什么不承认呢？理由很简单：阿基米德预先在直尺上作了一个记号P，使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定：在尺规作图法中，直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只准许使用有限次。
阿基米德失败了。但他的解法表明，仅仅在直尺上作一个记号，马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想：能不能先不在直尺上作记号，而在实际作图的过程中，逐步把这个点给找出来呢？
古希腊数学家全都失败了。2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿起直尺圆规，用这个难题测试过自己的智力……无数的人都失败了。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等份！一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发出一个巨大问号：三等份一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题目根本无法由尺规作出，硬要用直尺与圆规去尝试，岂不是白费气力？
以后，数学家们开始了新的探索。因为，谁要是能从理论上予以证明：三等份任意角是无法由尺规作出的，那么，他也就解决了这个著名的数学难题。
1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准许使用直尺与圆规，想三等份一个任意角是根本不可能的！
这样，他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。
两栖的数
著名数学家华罗庚说过：“数是数（shǔ）出来的，一个一个地数（shǔ），因而出现了1，2，3，4，5……”其实，不仅是自然数，其他一些数的引入，也都与物体的度量有关。分数的引入，与度量物体的细小部分有关；无理数的引入，与度量正方形对角线这类长度有关……16世纪时，数学家们遇到了一种奇怪的数，这种数与物体的度量无关，而且在很长的一段时间里，谁都没能在生活中找到一样事物，说它需要用这种数来刻画。
例如，意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次，他动手解答一道很简单的数学题：“两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？”
卡当设第一个数是X，由于两个数的和是10，他将第二个数记作（10-X）；因为两个数的积是40，于是有X（X-10）=40，即X2-10X-40=0。
这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式，只要把方程的系数1、-10、40代入公式里，马上就可以算出方程的两个答案来。可是，当卡当把1、-10、-40代入公式后，却算出了两个令人困惑不解的怪东西：5+-15和515。
卡当为什么困惑不解呢？
原来，他遇上了负数开平方的情形。“”是开平方运算的符号，如32=9，则9=3。人们一直认为，负数是不能开平方的，不仅如此，当时的人们对一些正数开平方，如2、15，也认为“仅仅是些记号而已”，不承认它们是一种数。因此，讨论-15就更加没有意义了。
卡当想，既然“15仅仅是些记号而已”，那么，何尝不把-15也看作“是些记号而已”呢？他鼓足勇气，“不管良心会受到多大的责备”，把那两个怪东西当作是两个数，代入题中进行了演算。瞧：
（5+-15）+（515）=10
（5+-15×（515）=40
这两个怪东西正好是题目要求的数！
从这个意义上说，这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪的数学家们，也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”，有一种虚无缥缈的味道，于是就起了个名字叫“虚数”。
尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。
18世纪下半叶，大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位，例如，-1可以记作i，-15可以记作15i。但是，欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说：“一切形如-1、-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，……它们既不是什么都是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”
其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数，对虚数的性质作出了合理的解释，虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里，对虚数的性质作了详细的叙述，到时候，读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游，这里就不多加介绍了。
需要指出的是，有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。
印度荷花问题
印度数学家婆什迦罗的著作中，有一个有趣的“荷花问题”。这道题目叙述得很别致，是以诗歌的形式出现的：
湖平浪静六月天，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。
残花离根二尺遥，试问水深尺若干。
这首诗的意思是：在平静的湖面上，有一枝荷花高出水面半尺，忽然一阵狂风把荷花吹倒在水中淹没了。到了秋天，渔翁发现淹没在水中的残花离根部有二尺远，试问水深是多少尺？
这道题目不算太难，如果我们设水深为x尺（图中的AE，也就是BC）那么荷梗AD长为（x+05）尺，风将荷花吹倒压水中，即荷梗移到AC处，而它的长度仍为（X+05）尺，荷花落在B处，距根部A处2尺远，即AB=2尺，于是在直角三角形ABC中，应用勾股定理，有：
AB2+BC2=AC2
即“22+x2=（x+05）2
解得：x=375（尺）即水深375尺。
“印度荷花问题”的作者婆什迦罗是一位著名的印度数学家。他编这首歌谣的目的，是帮助人们熟练掌握勾股定理的应用，由于歌谣易懂上口，后来在中东和西欧许多国家广泛流传。
类似的问题，我国古代数学家很早就提出过，“葭生中央问题”最早见于我国古代巨著《九章算术》，该书第九章就叫“勾股”章，详细讨论了用勾股定理解决实际问题的方法。这一章的第6题就是“葭生中央问题”：
今有池方一丈，葭生中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？
题中“葭”就是初生的芦苇。这道题目的意思是：有一个一丈见方的水池，中央长有一根初生的芦苇，高出水面一尺，如把这根芦苇拉向岸边，芦苇的顶端正好到达岸边的水面，问水深和芦苇长各是多少尺？
这个题目留给少年朋友们自己来解答吧。
幻方有一些奇妙的性质：
1对称性：四阶幻方具有丰富的对称性。
通过计算发现，每行、每列、两个对角线上四个数的和都相等，并且等于幻和。
幻方还关于中心对称，如右图；用带箭头的线条连接起来的两数之和恰好等于幻和的一半。
2轮换性：
图乙可以看成把图甲的上面一行或几行移到下面，或把左边的一列或几列移到右边（反过来也可以）以后得到的。在图乙中，随便框出由16个方格组成的方阵，仍然是一个幻方。
神秘的纵横图
纵横图国外评为奇方或幻方，它是将n2个自然数，排成n行n列的方块，使它各行各列及两对角线上各数字之和相等。
纵横图起源于中国，它最早与一些神话传说联系在一起。传说在伏羲氏和大禹治水时先后从黄河、洛水中由龙马神龟所显现的河图洛书上，已带有简单的纵横图。
492357816最早有纵横图记载的文献，除失传者外，迄今可见的是《大戴礼记》。在《大戴礼记·明堂》中，有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的记述，排列成方阵即如图所示之幻方。可以推测，民间对幻方的流传必定先于该书所作记述的年代。到南宋，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，已经列出了三至十阶纵横图了。并正式为它定名纵横图。
除中国外，希腊人在公元4世纪前后已有四阶幻方的记载。欧洲人直到14世纪才开始研究幻方，至迟比我国要晚1500年。
21613311581079126144115花十六图
纵横图产生之初，都带有较浓厚的神秘色彩，后又成为纯数字游戏，最后终于纳入了数学科学研究的对象之列。如法国的梅齐利亚克及著名数学家费马均对纵横图感到莫大兴趣。由于纵横图对解方程组是有用的理论，从而逐渐获得纯数学理论意义。
到近代，更发现纵横图对于组合分析、程序设计、图论、对策论及人工智能诸方面都有广泛的应用价值。
墨比乌斯纸环
某地区有三个居民小区和三家不同百货商店，为了方便群众，有人想从每一居民区到三家商店之间各修一条公路，总共需要九条公路，但要求各条公路之间两两不能相交。请来工程师设计时发现，这种公路在平面上是无法修造的。不信的话，你可以在纸上假想A、B、C是居民小区，E、F、G是三家百货商店，连一下，当你通出八条互不相交的公路后，发现第九条公路总要和前八条相交。
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