数字中的周期现象周期现象是普遍存在的。如果你注意一下，就可以发现，数字中也存在着形形色色的周期现象。
例如，自然数经过5次乘方之后，其末位数会出现“重现”或“回归”：2的5次方是32，其末位仍然是2；3的5次方是243，其末位仍然是3；7的5次方，我们即使不算出其结果，也可以肯定它的末位必定还是7；等等。
观察一下从1至9的平方的末位数，可以发现它们组成了一个回文序列：1，4，9，6，5，6，9，4，1。10的平方100末位是0，而此后各数的平方的末位数又是1，4，9，6，5，6，9，4，1。整个自然数的平方的末位数，始终在那儿兜圈子，循环反复，以至无穷。而这些反复出现的周期，中间是以0来分界的。
人们还发现，一切平方数的根数只能是1，4，7，9这四个数字，不可能是其他数字。这里所称的“根数”，就是把一个正整数的各位数字统统相加起来，求出其和数，如果这个和数比9大，就一直减去9的整倍数，直至余数小于或等于9为止。例如，135的根数是9，246的根数是3，等等。
利用上述知识，有时很容易判别一个数究竟是不是平方数。譬如说，98765432123456789是不是一个平方数？我们不妨查一下它的根数，是8，而不是1，4，7，9中的一个，于是就可以肯定它不是一个完全平方数。
一切平方数的根数不仅具有如上的特性，而且当完全平方数依序递增时，其根数也是以1，4，9，7，7，9，4，1的回文序列反复出现的。不过，这一次是以9，而不是用0来作为各个周期的分界。下面举些实例来说明：
100（10的平方）的根数为1；
121（11的平方）的根数为4；
144（12的平方）的根数为9；
169（13的平方）的根数为7；
196（14的平方）的根数为7；
225（15的平方）的根数为9；
256（16的平方）的根数为4；
289（17的平方）的根数为1；
324（18的平方）的根数为9；——周期的分界标志361（19的平方）的根数为1；——下一周期的开始……平方数的这些性质，不仅有趣，而且有很大的实用价值。灵活运用这些性质，我们就可掌握许多速算的窍门。
数字趣谈——奇妙的9
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：s=a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数0.6666……=0.6，0.242424……=0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.6666……=0.6+0.06+0.006+……
=610+6100+61000+6/10000+……
0.242424……=0.24+0.0024+0.000024+……=24100+2410000+241000000+……这就变成了无穷递宿等比数列的形式。0.6666……的公比是110，而0.242424……的公比是1100。根据求和公式得：
0.66……=6101-110=610-1=69，0.2424……=241001-1100=24100-1=2499。
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数学化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：
0.4444……=0.4=49
0.5656……=0.56=5999，
0.31233123……=0.3123=31239999=3471111。
下面再来看看以下两个循环小数：
0.2888……=0.28，0.3545454……=0.354它们都不是从小数点后的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
0.28888……210+810+81000+810000+……
0.35454……=310+541000+54100000+……
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：
0.2888……=210+81001-1〖〗10=210+8100-10=210+890=2×9+890=2690=1345。
0.35454……=310+5410001-1100=310+541000-10=310+54990=3×99+54900=351990=39110。
由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：
0.27777……=0.27=27-290=2590=518，
0.31252525……=0.3125=3125-319900=15474950。
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，要善于总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。
含义丰富的0
数学老师问学生一个问题：“某电脑商店一周前有某型号电脑20台，一周内售出20台而没有进货，现在该店还有几台这种型号的电脑？”学生们一般都会很快地回答：20台-20台=0台。这里，我们对0有了认识，给0下了个定义，就是：“0表示没有。”
通常0是表示没有，但是，它的意义是不是仅表示没有呢？它除了表示没有以外，还表示什么呢？
在日常生活中，天气冷热经常变化，一般冬天气温大约在0摄氏度左右。0摄氏度是不是表示没有温度呢？当然不是。如果0摄氏度表示没有温度，那么，0华氏度也表示没有温度吗？0华氏度就是0下1779摄氏度。我们知道，0摄氏度的温度比0下1779摄氏度的温度高，0摄氏度的气温比0下1779摄氏度的气温暖，不能说它没有温度，这样矛盾的事情怎样解决呢？
0本身充满着矛盾。拿0的作用来讲，因为任何多个0相加，它们的和还是0，岂不是很渺小吗？但是我们也可以说0的影响很大，如果有许多个因数相乘，其中只要有一个因数是0，它们的积就是0，你看这个0的影响不是很大吗？这样矛盾的事情在数学上的例子是不少的，要解决这样的矛盾问题，必须知道数学上的概念是相对的，不是不变的。对小学生来说，0是表示没有。但对中学生来说，0可以表示起始。在数学运算中，0还扮演着一个很重要的角色呢。在电子计算机里，0的作用就更大了，因为电子计算机采用0与1这两个基本数码的二进位制，任何数码都由这两个基本数码组成。
备受尊敬的7
在我们的生活中，有许多与7有关的事和物。
一个星期有7天；人头上的眼睛、耳朵、鼻孔、嘴共有7个孔；一个成年人的身高等于他本人7个头高；我国的传统玩具7巧板，用7块图形可以拼搭出变化无穷的图案；太阳光的光色由赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种色构成，给予了大自然千变万化的色彩；音乐家用do、re、mi、fa、so、la、si7个音，弹奏出无数美妙的乐曲；我国传说中的牛郎和织女，每逢7月初7相会，人们把这天叫做“7夕”……10个数字中，为什么“7”会受到人们这样的器重呢？
人们对数的认识是逐步发展的，最初，古人只认识1和2，3就被认为是“多”的意思，俗话说“三思而后行”，是指做任何事情必须多想想，而不是说只想3次。
后来人们又认识了一些数，如一只手就表示5，“7”这个数在有些地方就用来表示“多”了。
埃及发现的莱茵特纸草卷上记载着这样一道题：有7个老妇人，每个人有7只猫，每只猫吃7只鼠，每只鼠吃7穗麦，每穗麦出7颗麦粒，问人、猫、鼠、麦穗、麦粒各有多少？
答案是：7个人，49只猫，343只鼠，2401穗麦，16807颗麦粒。由7开始计算得到的这些数，对古代人来说确实是一个不小的数。
我国西南部的少数民族土族的妇女，衣袖上镶着7道彩色的锦边：红、橙、蓝、白、黄、绿、黑，以此来表示世上的万物，把它镶在衣袖上的意思是万物要靠勤劳的双手去创造。
7被看作“多”的化身，还因为古人把“7”敬拜为“神数”。
最初，人们把天空中3颗会“走”的星球：太阳（太阳是恒星，古代由于科学不发达，误认为太阳绕地球转）、月亮、金星看作“神灵”，后来又发现木星、火星、水星、土星也会“走”，这样就有7颗星球被看作是有“神灵”的。于是7被看作是“神数”。
人们在观察星空时，还发现，月亮除了一两天看不见外，其余28天，从月牙到月半，从月半到月圆，再到月半、月牙，正好把28天分成了4个7天，这又和受尊敬的“7颗”星球相配，于是人们就把这样的7天称为是星的日期，即7天为一个“星期”，直到现在有的国家还把一个星期中的7天称为月亮天、火星天、水星天、木星天、金星天、土星天和太阳天。
就这样，7成了一个受尊敬的数。
数学黑洞
在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这个数中的偶数个数、奇数个数、及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这三个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序，就会得到1，2，3，将数串123再重复进行，仍得123。对这个程序和数的“宇宙”，123就是一个数学黑洞。
是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如：8888887777444992222，在这个数中偶数、奇数、全部数字个数分别为11、9、20，将这三个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了。
这就是数学黑洞“西西弗斯串”。同学们努力学习，去探索、发现其中的奥秘吧！
费马大定理和费马小定理
如果三个正整数分别是某个直角三角形的三条边长，这样的三个正数就叫做勾股数。一般地说，勾股数就是不定方程X2+Y2=Z2的每一组正整数解。
在公元前1900—1600年的巴比伦泥块中，记载了一些如（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）这样一些数值很大的勾股数，说明当时已经有人开始探求勾股数的公式。
欧几里得在《几何原本》中第一次给出了求勾股数的公式。中国的《九章算术》则最先给出了它的现代形式：
设（z+x）∶y=m∶n（m>；n>；0），则
x∶y∶z=m2-n22∶mnm2+n22
显然利用公式可以给出不定方程x2+y2=z2的无限多级解。然而这个结果自然会引出这样的一个话题，在公式x2+y2=z2中，若未知数的次数比2还大，还有没有正整数解呢？
大约在1637年，费马经过认真总结研究，证明出一个立方数不可能表示为两个方立方数之和，一四次方数也不可能表示两个四次方数之和。一般说来，当正整数n>；2时，不定方程xn+yn+zn没有正整数解，这就是人们常说的费马大定理。可是，人们一直没有发现费马的证明，这就激起了许多数学家对这个问题的兴趣。
欧拉证明了n=3或4的情形，即方程x3+y3=z3与x4+y4=z4没有不为零的正整数解。
19世纪数学家勒让德和狄里赫勒同时证明了n=5的情况。之后数学家拉梅又证明了n=7的情况。
为了得到费马大定理的普遍证明，1908年德国哥廷根科学院悬赏10万马克，向全世界征求解答，限期100年，吸引得某些商人也加入了研究行列。但由于费马大定理不可能有初等证明，因而那些连初等数论的基本常识都不熟悉的人，对此只能“望洋兴叹”了。
为什么叫“费马大定理”而不叫“费马定理”呢？那是因为费马在1640年还发现过一个定理。
如果p是质数，并且a与p互质，那么数ap-a一定能被p整除。这是初等数论中的一个重要定理，但证明的难度及影响远不如“费马大定理”，因此，后人把它称做“费马小定理”。
跷跷板与不等式
游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到高处，这与数学里的不等式是多么相像！
楞儿游泳班的8个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板。他们之中，有5个女孩子，3个男孩子。女孩子的体重都是25公斤，男孩子的体重都是30公斤。