“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你驮的货物给我1口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你1口袋，咱俩才刚一般多。’问驴和骡各驮了几口袋货物？”
12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题：
“某人对一个朋友说：‘如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍；’朋友回答说：‘你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。’问两人各有多少铜币？”
但是，“欧拉问题”却编出了新意，由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言，使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅，解题途径与上述两题也不相同。
下面是欧拉提供的一种解法。
假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。
如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的m倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。
于是有m2=15∶623
舍去负值后得m=3／2、即两人所带鸡蛋数目之比为3：2。这样，由鸡蛋总数是100，就不难算出题目的答案了。
想出这种巧妙的解法是很不容易，连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。
百鸡问题
公元5世纪南北朝时期，中国古代数学家张丘建在他所著的《算经》里记载了百钱买百鸡的问题，即后来流传很广的百鸡问题。故事内容大概是这样的：
有一位宰相听说张丘建擅长数学，就把他的父亲召去，命他拿100文钱到市场去买公鸡、母鸡、小鸡共100只。当时市场上鸡的销售价格是：公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡每3只1文钱。老人回家对张丘建讲了这件事，张丘建叫他父亲买4只公鸡、18只母鸡、78只小鸡去见宰相。宰相一见，恰好是100文钱买鸡100只，于是非常高兴，又拿出100文钱，要求再买100只鸡，但不能按原来的方案买。这一次，张丘建让他父亲买了8只公鸡、11只母鸡和81只小鸡。宰相非常惊奇，他想为难一下张丘建，于是召来张丘建，给他100文钱，命他再采用一种新方案买100只鸡。张丘建很快买回了12只公鸡、4只母鸡和84只小鸡，又恰好是100文钱买公鸡、母鸡和小鸡共100只。
实际上，这是一个典型的不定方程问题。关于百鸡问题，可设x、y、z分别表示公鸡、母鸡、小鸡的数目，则得下面方程：
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去z，再化简得7x+4y=100，即y=25-74x。因为y是非负整数，所以0≤x＜15，而x又是4的整数倍，故x只能是0、4、8、12，于是得：
x=0
y=25
z=75x=4
y=18
z=78x=8
y=11
z=81x=12
y=4
z=84国王赏不起的米
古印度有个大名鼎鼎的国王，非常爱玩游戏。
有一次，他突发奇想，下令在全国张贴招贤榜：如果谁能替国王找到奇妙的游戏，将给予重赏。
一个术士揭了招贤榜。他发明了一种棋，使国王玩得舍不得放手。国王高兴地问术士道：“你要求本王赏赐些什么？”术士赶忙拜倒：“大王陛下在上，小小术士没有特殊的要求，只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米，在第二个格子里放下两粒米，在第三个格子里放下4粒米，然后在以后的每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米，64个格子放满了，也就是我要求的奖赏了。”国王一听，这点米算什么，就一口答应了。可是，当找来算师一五一十地算了以后，使国王大吃一惊，原来这些米可以覆盖全地球，全世界要几百年才能生产出来，根本无法赏给这位术士。
为什么这个棋盘里的米会有这么多呢？
让我们算一算看：
第一个格子里是1粒，第二个格子里是2粒，一共有3粒，或者，等于：
2×2-1=3
加上第三个格子的4粒，一共是7粒，即
2×2×2-1=7
再加上第四个格子的8粒，共有15粒，即
2×2×2×2-1=15
也等于：
24-1=15
所以，从第一格到第四格的米粒总数就等于2的4次乘方减去1。那么，从第1格到第64格的米粒总数，将等于2的64次乘方减去1，即：
2×2×2……×2-1=264-1
64次
为什么这个数字会这么惊人呢？原来这个术士聪明地运用了数学上的几何级数，那是把2作为基本倍数，棋盘上的格数作为这个基本倍数的乘方，即2的n次方。棋盘上一共有64格，n就等于64，但是要减去第一格上那一粒米的数值，即264-1，然后再除以基本倍数减去第一格上数值的差，即2-1。这样：
2n2-1=264-11=264-1
看来，一粒米、两粒米这个数目很小，算不得什么，可是，用几何级数一算，却成为一个不可想象的巨大数字。愚蠢的国王怎能领会几何级数的奥妙呢。
墓碑上的数学
丢番图是古代希腊著名的数学家，关于他的年龄在任何书上都没有明确的记载，可是，在他的墓碑上却刻下了关于他的生平资料。如果依据墓碑上提供的生平资料，用数学方法去解答，就能算出数学家丢番图的年龄，这就是人们所说的“墓碑上的数学”。
丢番图的墓碑上到底刻了些什么呢？
“过路人，丢番图长眠在此。倘若你懂得碑文的奥秘，它就会告诉你丢番图一生寿命究竟有多长。
“他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，他度过了愉快的青年时代；后来丢番图结了婚，这样又度过了一生的七分之一；再过五年，他得了第一个儿子，感到很幸福，可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲寿命的一半；自从儿子死了以后，他努力在数学研究中寻求慰藉，又过了四年，终于结束了尘世的生涯。”
现在让我们从碑文中去寻求解答问题的各种数量关系。
先用方程解。我们假设丢番图的年龄是x岁；他的生命的六分之一是童年，童年便是x6；再活了他生命的十二分之一，就是再活了x12；他结婚又度过了一生的七分之一，便是x7；再过五年生了儿子，儿子的生命是父亲寿命的一半，那就是x2；儿子死后的四年，他结束了一生。
根据以上分析可以列出方程：
x=x6+x12+x7+5+x2+4
解：
84x=14x+7x+12x+42x+756
9x=756
x=84
这就是说，丢番图活了84岁。
也可用算术方法解。我们把丢番图的年龄看作整体“1”，童年是16，青年是112，结婚后度过了一生的17，又过了5年生儿子，儿子年龄是他父亲生命的12，又过4年，结束了一生。
由此说明（4+5）年恰好是他一年的（1-16-112-17-12）。列式为：
（4+5）÷（1-16-112-17-12）
=9÷84-14-7-12-4284
=9÷984
=84（岁）
由此可以得知，丢番图21岁结婚，38岁做了爸爸，儿子只活了42岁，儿子死的时候，丢番图是80岁，儿子死后4年，这位84岁的老人给自己的一生画了一个句号。
丢番图的主要著作有《算术》一书。在书中，除了记述代数原理外，还记述了不定方程及其解法。丢番图研究的不定方程问题，对后来的数学研究影响很大，后人也把不定方程称为“丢番图方程”。
六人集合问题
六个人参加集会。这其中，有多少人相识，有多少人不相识？这个问题经常把人问得瞠目结舌。但如果将其转化为“图论问题”来解决，则疑难迎刃而解。
我们把六个人看作是平面上的六个点A、B、C、D、E、F（为清晰起见，假定六点中无三点共线），相识的二者之间用实线连接，不相识的二者之间用虚线连接。于是问题便转化为，是否一定能连得一个实边三角形或一个虚边三角形。
我们以A为基点进行全面分析，A与其他点之间的连线共有六种情况，即五条实线；四实一虚；三实二虚；二实三虚；一实四虚；五条虚线。不难看出前三种情形的解决便导致了后三种情形的解决，B、C、D三点若全部用虚线连结则问题得证。先出现一条实线比如BD，则ABD为实边三角形，同样问题得证。
上面的问题做一个古老的数字游戏，我们是把它转化为“图论问题”来解决的，并得到了一个重要的“图论定理”：用实线或虚线连结六点中的各两点之后，则至少有一个实线作成的三角形或一个虚线作成的三角形。解决问题中所采用的形式转化和全面分析等都是富有启发性的。
破碎砝码的妙用
一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这4块碎片的重量各是多少？
这就是著名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。
他是这样演绎的：
首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出1到n的所有整数磅重物（这时这些砝码重量的和也一定为n磅）。另设有一块砝码，它的重量为m磅（m=2n+1），那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n+1的所有整数磅的重物。
因为，原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n+1到3n+1磅的所有整数磅重物。
由此可判定这4块砝码的重量：
第一块砝码取m1=1（磅）；
第二块砝码取m2=2×1+1=3（磅）；
第三块砝码取m3=2（1+3）+1=9（磅）；
第四块砝码取m4=2（1+3+9）+1=27（磅）。
用这4块砝码可秤从1到（1+3+9+27）=40磅间的任何一个整数磅重物。
奇妙的追击
四只龟在边长3米的正方形四个角上，以每秒1米的速度同时匀速爬行。每只龟爬行方向是追击其右邻角上的龟，问经过多少时间他们才能在正方形的中心碰头。
这就是思维魔术家马丁·加德纳的“四龟问题”。
这四龟在任何时候，始终位于正方形的四个角，四龟的不停爬行，使所构成的正方形越来越小，最后，终于碰头于正方形的中心。
这四龟所行的路线显然不是直线，要直接计算行程，使人感到无从下手。怎样解决这个难题呢？
我们分析相邻两龟的爬行，其方向总是构成直角。前龟的移动并不影响两龟之间的距离，它的移动可略去不考虑。这就相当于前龟停留在一个正方形的一角，而后龟沿着正方形的一边向它爬去。这样，当它们在正方形中心相遇时，各龟的爬行路线长刚好都等于正方形的边长，所以需要3001=300秒。就是说5分钟后四龟在正方形中心碰头。
古希腊三大几何问题
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等份任意角和化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等份任意角就都是可测量的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。
博弈论
下棋已成为许多人茶余饭后乐此不疲的一项业余爱好。既要对弈，就必有胜负。赢棋的奥妙是一个很值得研究的问题。而研究这类问题的学问就是博弈论，又叫对策论。
博弈论是20世纪20年代才发展起来的新兴学科，由冯·诺曼等人的研究开始，最先被用于考虑经济问题和军事问题，之后也被用解决一些社会问题。下面用一个简单的例子来看看是如何考虑问题的。