60.康托尔与集合论
集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国彼得堡(现为苏联列宁格勒)一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。当时柏林大学正在形成一个数学与研究的中心。他在1867年的博士论文中已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法更为重要。的确，他的成绩并不总是在于解决问题，他对数数的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如着名的连续统假设。
1869年康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不仅就升为副教授，并在1879年升为教授。他一直到去世都在哈勒大学工作。他曾希望去柏林找一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克(L·Kronecker，1823-1891年)对于他的集合论，特别是他的“超穷数”的观点持根本否定的态度。因此，处处跟他为难，堵塞了他所有的道路。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日他在哈勒大学附近精神病院中去世。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合一对一的对应。但是，他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。不久之后，他承认“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同。”可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金祝贺康托尔取得成功。
集合论的发展道路是很不平坦的。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论。
61.客满的旅馆还能住进一位客人
有一个市镇，只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。有一天开大会，所有房间都住满了，后来来了一位客人，一定要住下来。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的旅馆老板女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆老板难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……K号房间客人搬到2K号……这样，1号，3号，5号……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
这一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房安排他们的亲朋好友，这回连老板的女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于想出了办法。她把第一个客人的第一间房记做(1，1)，第二间房记做(1，2)，第K间房记作(1，K)……第二个客人的第一间房记作(2，1)，第二间房记做(2，2)……这样就有一串两个号码的房间。现在把它按1，2，3，4……排好，按箭头的顺序排号：(1，1)住1号，(1，2)住2号，(2，1)住3号，(3，1)住4号，(2，2)住5号……问题不就又解决了吗！
这个故事说明了无穷集合和有限集合的一个特点，即有限集合不能通过单映射映射到自己的真子集合，而无穷集合可以通过单映射映射到自己的真子集合。(单映射是指，设F是集合A到集合B的映射，对B中的一个象，它在A中只有唯一元素作为原象，就称F是单映射。)
62.“换一根短的杠杆”
据传说，在阿基米德晚年，他的家乡叙拉古城被强大的罗马帝国围困，在保卫城墙的战斗中，阿基米德充分动用了他的智慧和才能，发明许多特种武器，给敌人以沉重的打击，使得久攻不下的罗马军队只得弃强攻为封锁，后来，叙拉古城由于矢尽粮绝，才被罗马军队占领。
在保卫古城堡的最后一天，阿基米德看到城堡的一角，几名将士正用一根既沉重又长的杠杆在运一块大石，准备消灭入侵之敌。他好像突然想起什么似的猛然站起来高声喊到：“不要那么长的杠杆，换一根短的。”将士们惊呆了，用短杠杆怎么行？你老人家发明的杠杆原理不是要加长动力臂才省力吗？
遗憾的是由于城堡被敌人攻破，阿基米德没来得及回答将士们的问题，就被罗马士兵杀害了。
这个传说是否真实，我们不必来考证，但是，我们关心的是为什么阿基米德突然想到要换一根短杠杆呢？只要我们细心一想，就会发现这位古代科学家所提问题的道理，诚然加长动力臂能省力，但是随着杠杆长度的增加，人们的无用消耗也将增加。那么，究竟采用多长的杠杆才最省力呢？
不妨假设杠杆的支点、力点分为A、B，在距支点0.5米处的点挂重物490公斤，已知杠杆本身每米长重40公斤，求最省力的杠杆长？
显然，我们可以得这样一个关系式：
FX=40X·X2+490×0.5
可转化以自变量X的二次方程：20X２-FX+245=0于是利用判别式法求出F的极值，即：
Δ=F２-40×20×245≥0
即F≥140
故当F=140公斤时，X=3.5米
由此可知，最省力的杠杆长为3.5米，此时人们只用140公斤力就可移动490公斤重的物体，事实上，当杠杆比3.5米长了或短了时，所用的力都要大。例如取4米时，F=141.25公斤，显然用力大于140公斤。现在我们已说明了“阿基米德为什么说‘不要用那么长的杠杆，换一根短的’”的道理。
63.不同专业的质数
证明所有大于2的奇数都是质数，不同专业的人给出不同的证明：
数学家：3是质数，5是质数，7是质数，由数学归纳可知，所有大于2的奇数都是质数。物理学家：3是质数，5是质数，7是质数，9是实验误差，11是质数。工程师：3是质数，5是质数，7是质数，9是质数，11是质数。计算机程序员：3是质数，5是质数，7是质数，7是质数，7是质数。统计学家：让我们来试几个随机抽取的数：17是质数，23是质数，11是质数。
64.与函数的相遇
函数和指数函数e的x次方走在街上，远远看到微分算子，常函数吓得慌忙躲藏，说：“被它微分一下，我就什么都没有啦！”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是e的x次方！”
指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道：“你好，我是e的x次方。”微分算子道：“你好，我是d/dy！”
65.不同学者的角度
物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上，碰巧看到一只黑色的羊。
“啊，”天文学家说道，“原来苏格兰的羊是黑色的。”
“得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。”物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的。”
“也不对，”数学家道，“由这次观察你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面上是黑色的！”
66.专业性的看法
一个数学家，生物学家和物理学家坐在露天咖啡座上，悠闲的看着对街商店的人来人往。
首先他们看到两个人走进商店，过了一会儿发现却有三个人走出来；三个朋友就他们的专业发表了彼此的看法：
物理学家：这证明了测不准原理。
生物学家：这些人自我繁殖了。
数学家：若现在再有一人进入此商店则里面将空无一人。
67.数学家与消防员
一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”
消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”
数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”
68.数和数字一样吗
我们学数学，整天和数与数字打交道，那么数和数字是一回事吗？你注意到它们之间的区别了吗？你知道吗，小兰和小华还为这事吵起来了呢。事情是这样的，数学兴趣小组的张老师，给大家出了一个讨论题：数和数字的含义是不是相同的？小兰不加思索地说：“当然相同。”张老师说：“你能举个例子说明吗？”
小兰很快地说：“1、2、3、……可以说它是数字，也可以说它是数。”小华不服气地：问：“那么69是一个数，也是一个数字吗？”小兰说：“69是一个数也是一个数字。”小华说：“你说的不对，69是一个数，是由6和9这两个数字组成的，数和数字的含义是不一样的。”
小兰和小华互不服气。这时有的同学同意小兰的意见，也有的赞成小华的说法。大家展开了热烈的讨论。意见一直统一不起来。张老师看着大家的认真劲，笑了，她说：“数可以表示物体的多少或排列顺序；数字是写数用的符号，也叫数码。我们用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字按一定数位顺序排列来表示数。用它们可以写出任意一个数。”听了张老师的话，小兰点了点头。
69.九九歌
九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多着作中，都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一”起到“九九八十一”止。现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九”。
70.0的自我介绍
人人都轻视我，认为我可有可无、有时读数不读我，有时计算中一笔把我划掉。可你们知道吗？我也有许多实实在在的意义。1．我表示“没有”。在数物体时，如果没有任何物体可数，就要用我来表示。2．我有占数位的作用。记数时，如果数的某一数位上一个单位也没有，就用我来占位。比如：1080中百位、个位上一个单位也没有就用：0来占位。3．我表示起点。直尺、秤的起点都是用我来表示的。4．我表示界限。温度计上，我的上边叫“零上”，我的下边叫“零下”。5．我可以表示不同的精确度。在近似计算中，小数部分末尾的我可不能随便划去。如：7.00、7.0、7的精确度是不同的。6．我不能做除数。让我做除数可就麻烦了，因为我做除数是没有意义的。以后你们还会学到我的很多特殊性质、小朋友，请你不要看不起我。
71.从一列数中获得的天文发现
据说1772年，德国天文学家波德发现了太阳与行星距离的规律，根据这个规律算出了当时已发现的行星与太阳的距离（单位略）分别为：星名水星金星地球火星木星土星行星到太阳的距离47101652100天文学家们为了发现更多的行星，仔细研究上表中各数的联系。他们将上表中各数分别减4得到一列数：0、3、6、12、48、96。这些数之间竟有一个奇妙的规律：如果在12和48之间再添上24的话，那么（除第一个数以外）每个数都是前面一个数的2倍。这仅仅是纸上谈兵的数学游戏吗？还是真和行星的位置有什么关系？到了1781年，天王星被发现，人们算得它与太阳的距离是192。真巧，这个数不用减4，就是数列中96的2倍。这一发现，引起了人们的极大兴趣。为了在数列中的12和48之间插入24，科学家们猜测：在与太阳距离28（即24+4）的地方应该有一颗行星。1801年12月7日，科学家终于找到了这颗行星——古神星，它与太阳的距离约是28。