55.朋友与“亲和数”
传说在公元前500多年，古希腊的克罗托那城中，毕达哥拉斯学派正在讨论“数对于万物的作用”，一位学者问“在我们交朋友时，存在数的作用吗？”伟大的数学家毕达哥拉斯答到：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”他的话使人感到蹊跷，接着他宣布：神默示我们，220的全部真因子之和1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110恰好等于284，而284的全部真因子之和1+2+4+71+142又恰好等于220，它们是一对奇妙的“亲和数”。毕达哥拉斯的妙喻，简直使学者们惊呆了，不过在此后的一段漫长的时间里，人们知道的亲和数就只有这一对。
直到公元七世纪，在古老的巴格达城中，出现了一位伟大的博学者泰比特·伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家，并且酷爱数学，他对亲和数的特性潜心思索，竟惊人地发现了一个求亲和数的公式。即a＝3·2x1，b＝3·2x11，c＝9·22x11，这里x是大于1的正整数，则当a、b和c为素数时，2xab和2xc是一对亲和数，同时给出了公式的证明，并验证当X＝2时，求得的亲和数就是220和284。然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯拉并没有给出新的亲和数。
又过了700多年，法国数学家费尔马在1636年再度独立地证明了泰比特·伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数17296和18416。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切地给出了第三对亲和数9363584和9437056。这新的发现震动了数学界，吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞争。
直至1750年，诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布：他一举求出如2620和2924，5020和5564，6232和6368等六十对亲和数(一说五十九对)，使他在寻数竞争中独占鳌头。
又过了一百多年，奇迹出现了，1866年，一位年仅十六岁的孩子竟正确地指出，前辈们丢掉了第二对较小的亲和数1184和1210，这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶，据本世纪七十年代统计，人们已经找出一千二百多对亲和数，数学真是一个深不可测的海洋，它蕴藏着无穷无尽的奥妙。
56.“赌徒之学”
17世纪时，法国有一个很有名的赌徒，名字叫默勒。一天，这个老赌徒遇上了一件麻烦事，使他伤透了脑筋。
这天，默勒和一个侍卫官赌掷骰子，两人都下了30枚金币的赌注。如果默勒先掷出3次6点，默勒就可以赢得60枚金币；如果侍卫官先掷出3次4点，这60枚金币就归侍卫官赢走。可是，正当默勒掷出2次6点，而侍卫官只掷出了1次4点时，意外的事情发生了。侍卫官接到通知，必须马上回去陪国王接见外宾。
赌博无法继续下去了。那么，如何分配两人下的赌注呢？
默勒说：“我只要再掷出1次6点，就可以赢得全部金币，而你要掷出2次4点，才能赢得这么多金币。所以，我应该得到全部金币的3／4，也就是45枚金币。”
侍卫官不同意这种说法，反驳说：“假如继续赌下去，我要2次好机会才能取胜，而你只要一次就够了，是2∶1。所以，你只能取走全部金币的2／3，也就是40枚金币。”
两人争论不休，结果谁也说服不了谁。
事后，默勒越想越觉得自己的分法是公平合理的，可就是说不出为什么公平合理的道理来。于是，他写了一封信向法国着名数学家帕斯卡请教：
“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。如果一人赢了a（a＜S）局，另一人赢了b（b＜s）局时，赌博中止了。应该怎样分配赌本才算公平合理？”
这个问题有趣得很。如果以两人已赢的局数作比例来分配他们的赌本，两人都将不服气，准会抢着嚷道：“假如继续赌下去，也许我的运气特别好，接下来全归我赢。”然而，假如继续赌下去，谁又能预先确定一定归谁赢呢？即使是接下去的每一局，谁又能预先断定一定归谁赢呢？
帕斯卡对这个问题很有兴趣，他把这个题目连同他的解法，寄给了着名法国数学家费尔马。不久，费尔马在回信中又给出了另一种解法。他们两人不断通信，深入探讨这类问题，逐渐摸清了一些初步规律。
费尔马曾经计算了这样一个问题：“如果甲只差2局就获胜，乙只差3局就获胜时，赌博中止了，应如何分配赌本？”
费尔马想：假如继续赌下去，不论是甲胜还是乙胜，最多只要4局就可以决定胜负。于是他逐一列出这4局时可能出现的各种情况，发现一共只有16种。如果用a表示甲赢，用b表示乙赢，这16种可能出现的情况是：
在每4局，如果a出现2次或多于2次，则甲获胜。这类情况有11种；如果b出现3次或多于3次，则乙获胜，这类情况有5种。所以，费尔马算出了答案：赌本应当按11∶5的比例分配。
根据同样的算法，读者不难得出结论：在默勒那次中止了的赌博中，他提出的分法确实是合理的。
帕斯卡给费尔马的信，写于1654年7月29日，这是一个值得记住的日子。因为他们两人的通信，奠定了一门数学分支的基础，这门数学分支叫做概率论。
由于概率论与赌徒的这段渊源，常有人讥笑它为“赌徒之学”。
概率论主要研究隐藏在“偶然”现象中的数量规律。抛掷一枚硬币，落地时可能是正面朝上，也可以是背面朝上，谁也无法预先确定到底是哪一面朝上。它的结果纯粹是偶然的。连续地将一枚硬币抛掷50次，偶然也会出现次次都是正面朝上的情形。但是，如果继续不停地将硬币抛掷下去，这个“偶然”的现象便会呈现出一种明显的规律性。有人将硬币抛掷4040次，结果正面朝上占2048次；有人抛掷12000次，结果正面朝上占6019次；有人抛掷3万次，结果正面朝上占14998次。正面和背面朝上的机会各占1／2，抛掷硬币的次数越多，这种规律性就越明显。
概率论正是以这种规律作依据，对在个别场合下结果是不确定的现象，作出确定的结论。例如，将一枚硬币抛掷50次，概率论的结论是：出现25次正面朝上的机会是1／2。而次次出现下面朝上的机会是多少呢？假如有一座100万人的城市，全城人每天抛掷8小时，每分钟抛掷10次，那么，一般需要700多年，这座城市才会出现一回这样的情形。
8.法官的判决
事情发生在古希腊。智慧大师、诡辩论者普洛塔赫尔在教他的学生款德尔学习律师业务时，师生之间约定，学生独立后第一次取得成绩，即第一次诉讼胜利时，必须付给老师酬金。
款德尔学完了全部课程，但却不急于出庭辩护，使老师迟迟得不到酬金。
老师这时想：“我要向法院提出诉讼，如果我赢了，我会得到罚款。如果我输了，我会得到酬金，这样无论如何我都胜了。”
于是普洛塔赫尔正式向法院提出了控诉。
学生得知这一情况之后，认为他们的老师根本没有获胜的希望，如果法院判被告输了，那么按二人的约定就不必付酬金。如果判被告赢了，那么根据法院裁决就没有付款的义务了。
师生二人的良好想法终于使法院开庭了。这场纠纷吸引了好多人。但法官的判决更使人敬佩不已。既没破坏师生之约，又使老师有了取得报酬的可能。
法官的判决是这样的：让老师放弃起诉，但给他权力再一次提出诉讼。理由是学生在第一次诉讼中取胜了，这第二次诉讼应无可置辩地有利于老师了。
57.国王给大臣们出的难题
据传古代欧洲有位国王，一天他非常高兴，便给大臣们出了一道数学题，并许诺谁先解出了这道题便予重赏。他说：“一个自然数，它的一半是一个完全平方数，它的三分之一是一个完全立方数，它的五分之一是某个自然数的五次方，这个数最小是多少？”
有位大臣的儿子十分聪明，第二天他就替父亲解出了这道题。
满足上述条件的数，必然是２，３，５的倍数，其最小值可以表为Ｎ=２a·３b·５c(其中a、b、c为自然数。)由于１２N是完全平方数，所以２a-１３b５c是完全平方数：那么a-１必为偶数，即a为奇数；b、c也必须是偶数，由于１３Ｎ是完全立方数，那么b-１就为３的倍数，即b为被３除余１的数，如１，４，７，１０，１３……等等；同理c是被５除余１的数，即１，６，１１，１６，２１……等等；此外还要满足条件：a与b都是５的倍数，a与c都是３的倍数。
综上所述，a是能被３和５整除的奇数，即a的最小值为１５；b是能被５整除被３除余１的偶数，即b的最小值为１０；c是被３整除被５除余１的偶数，即c的最小值为６。那么：
Ｎ=２１５·３１０·５６=３０２３３０８８００００。
58.爱吹牛的理发师
1919年，着名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。
小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”
大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”
“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。
原来，这个爱吹牛的理发师，已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子，那就不符合他声明的前一半，这样，他就不应当给自己刮胡子；但是，如果他不给自己刮胡子，那又不符合他声明的后一半，所以，他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮，横竖都不对。
像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上着名的“理发师悖论”。
理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。
实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。
这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。
集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。
罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。
数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。
在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个着名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。
三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。
现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。
59.牛皮上的城堡
你知道古代城市卡发汗吗？它就是在一张牛皮所占有的土地上建立的城市。
传说基尔王的公主蒂顿娜的丈夫被她的兄弟杀死，她逃到非洲。她在奴米地国王那里用了很少的钱买了“一张牛皮所能占有的”土地。这项交易签约后，蒂顿娜把牛皮割成非常细的牛皮条，围成很大的一片土地，足以建成一座城堡。后来扩建成卡发汗。
根据这个传说，假想蒂顿娜割成牛皮条宽1毫米，而一张牛皮的面积有4平方米，那么她围成的土地最大面积能是多少？
面积为4平方米的牛皮、合4百万平方毫米，若把它螺旋式地切割成完全可连续的一条牛皮条，也就是4000米即4公里。这样长的牛皮条可以围出一平方公里的正方形土地。若围成圆形土地，面积可达1.3平方公里，其大小相当于三个梵蒂冈。你想，卡发汗市建立的传说还真有点可靠性呢。