书城教材教辅必解的数学密码
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第65章 “盈不足术”

如果有人出这样一道题:4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱?你会毫不费力地回答:每人应出3元。从代数的角度来看,这只不过是解方程4x=12而已,非常简单。但令人惊奇的是,象px-q=0这种简单的一次方程问题,在古代却要大费周折,用相当麻烦的办法来解决。

在中世纪的欧洲,为了解px-q=0这种类型的问题,有时要用到所谓“双设法”,即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是:设a1和a2是x值的两个猜测数,b1和b2是误差,这时有

a1p-q=b1,(1)

a2p-q=b2,(2)

(1)-(2)得p(a1-a2)=b1-b2,p=b1-b2a1-a2.

(1)×a2-(2)×a1,得-q(a2-a1)=a2b1-a1b2,

即,q=a2b1-a1b2a1-a2.

因此,x=qp=a2b1-a1b2b1-b2,

于是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前,“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法,并得到广泛的应用。十三世纪著名的意大利数学家斐波那契,最早介绍了这种方法,并把它叫做“阿尔—契丹耶(elchataym)”,这显然是阿拉伯语的音译。因为在11~13世纪,这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视,并称之为“契丹算法”。另一方面,我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”,实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来,“双设法”追本溯源应该来自中国,来自中国古代的“盈不足术”。正是我国早已有之的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲,在欧洲数学发展中起了重要的作用。

“盈不足”又称“盈朒(róu),是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法,“盈”就是“多”,“不足”就是“少”。我国古代数学名著《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”,其中第一个问题是:“今有共买物,人出8,盈3;人出7,不足4.问人数、物价各几何?”这道题的题意是:现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元,则多3元;如果每人出7元,则少4元。问人数和物价各是多少?《九章算术》给出了这个问题的一般解法,我们用现在的代数式来表示:设每人出a1,盈(或不足)b1;每人出a2,盈(或不足)b2.其中,在盈的情况下,b1,b2>0,不足时,b1,b2<0.于是,人数p或物价q可由下列公式计算出来:

p=b1-b2a1-a2q=a2b1-a1b2a1-a2.

在上述问题中,由这两个公式可得人数p=7(人),物价q=53(元)。

“盈不足术”是中国古代数学的一项杰出成就。用“盈不足”算法,不仅能解决盈亏类问题,而且还能解决一些较复杂的问题。例如,设好地一亩产粮300斤,次地七亩产粮500斤;现在有一顷地共产粮1万斤;问好地和次地各有多少亩?这道题虽然没有给出“盈”和“不足”的数值,但可以假定有好地20亩,次地80亩,于是,可算出这种情况应多产粮171427斤。如果假定有好地10亩,次地90亩,则应少产粮57137.因此,根据上述公式即可算出好的有12亩半,次地有87亩半。

当然,应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识,很容易解决日常遇到的算术难题,不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内,有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。