书城教材教辅必解的数学密码
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第63章 巧解九连环

外国文献中把九连环叫做“Chinese Ring”,世界上一致公认它是人类所曾发明过的最奥妙的玩具之一。

九连环不知道是什么时候发明的,由于年代久远,缺乏史料,许多人都认为它大概来自民间。十六世纪的大数学家、在普及三次方程解法中作出了卓越贡献的卡尔达诺在公元1550年(相当于我国明朝中叶)已经提到了九连环。后来,大数学家华利斯对九连环也作了精辟的分析。在明清二朝,上至所谓“士大夫”,下至贩夫走卒,大家都很喜欢它。

九连环一般都用粗铅丝制成,现在从事此道的民间艺人已经寥若晨星,我们只好自己动手来做一个。它共有九个圆环,每一个环上都连着一个较细的铅线直杆,各杆都在后一环内穿过,插在白铁皮上的一排小孔里。杆的下端都弯一小圈,使它们只能在小孔里上下移动,但脱不出来。另外再用粗铅丝做一个双股的钗。

玩这种游戏的目的是要把九个环一个扣住一个地都套到钗上,或者从钗上把九个环都脱下来。不论是套上或脱下都不容易,要经过几百道手续,还得遵循一定的规律,用数学的行话来说,就是有一套“算法”。

先介绍两种基本动作。如果要把环套到钗上去,先要把环从下向上,通过钗心套在钗头上,这一个动作除了第一环随时可做外,其余的环因为有别的环扣住,都无法套上。但有一点要注意,如果前面有一个邻接的环已经套在钗上,而所有其他前面的环都不在钗上时,那么,只要把这一个在钗上的环暂时移到钗头前面,让出钗头,后一环就可以套上去,再把前一个恢复原位。

至于环从钗上脱下的基本动作,只要把上面的“上环”动作倒过来做就行了。

懂了这两种基本动作之后,我们还要多加练习,要做到不论套上或脱下都能运用自如。现在可以看出,如果只要套上第一环,只须一步手续就行了。要套上第一、二两环,可先上第一环,再上第二环,因此,一共需要二步。如果要上三个环呢。手续就更麻烦了。必须先上好第一和第二两个环,还得脱下第一环,才能套上第三环,最后再上第一环,这样,一共需要五步。(为了统一起见,每移动一个环算作一步。)当环数更多时,手续必然更繁,如果一旦弄错,就会乱了套。幸而我国古代的研究家们早就考虑到了,他们根据古算的特色,创造了三句口诀:“一二一三一二一,钗头双连下第二,独环在钗上后环。”(最后五步是一二一三一;脱环时最先五步是一三一二一。)

换句话说,移动的手续是,每八步可作为一个单元,其中的前七步一定是“一二一三一二一”,至于到底应“上”应“下”呢,这可依自然趋势而定。即:原来不在钗上的应“上”,原来在钗上的应“下”。至于第八步则要看那时钗头的情况而定:如果有两环相连时,一定要脱下后一环;如果钗头只有单独的一环时,一定要套上后一环。以上就是口诀的意思,“算法”的全部奥妙就都在这里了。根据这三句口诀,解开或套上九个环,虽然有341步之多,也不费吹灰之力了。据我国古代小说记载,民间老艺人把九连环全部解开来,大约只要五分钟左右。

1975年,在国外出版了一本专书,专门讲各式各样的数列。由于电子计算机的飞速发展,数学里有一种“离散化”倾向,因此,这本书的出版,被认为是前所未有的,得到了各方面的好评。在这本书里,也收罗着下面的数列:

1、2、5、10、21、42、85、170、341……

起先大家都莫名其妙,不知道它是干什么用的,因为它既非等差数列,又非等比数列,也不是一些有名的数列。但是,后来一经指点就恍然大悟了,原来它就是“九连环”数列。第一项的1,表明解开一个环只要一步,第二项的2,表明解开二个环需要二步……等等以此类推。由此可见,解开九个环,一共需要三百四十一步。

数列里头的各个数,到底有什么规律?是否非得死记不可?经过专家一研究、一分析,谜底终于揭穿了。原来,如果我们用un代表上述数列中的第n项,那么,就可以得出下面的公式:

当n是偶数时,un=2un-1.

(例如,解开八个环需要的步数170,正好是解开七个环需要的步数85的二倍。)

当n是奇数时,un=2un-1 1.

(例如,解开九个环需要的步数341,等于解开八个环需要的步数170的二倍再加上1.)

这样一来,我们有了u1,就能推出u2,有了u2,就能推出u3……正象顺藤摸瓜,这种方法就叫“递归”,是数学里一个非常重要的概念。

上面的方法虽然好,有人却仍旧感到美中不足。他们问,如果要解开几个环,到底需要几步?有没有一个直接的计算公式呢?用数学的行话来说,就是要求出一个用n来表示un的函数关系。经过前人的研究,这个式子也是有的,即:

un=13(2n 1-1)当n为奇数时;

13(2n 1-2)当n为偶数时;

于是,九连环的问题就圆满解决了。