书城教材教辅必懂的数学知识
10654300000023

第23章 沈括和他的隙积术

沈括(公元1031~1095)是我国古代卓越的科学家,他出生于钱塘(杭州)。有一天,他和朋友在一家酒店喝酒时,看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。

“你猜,这堆酒坛有多少个?”朋友好奇地问,“一共有122个。”沈括沉思了一会儿回答。

后来,他的朋友把这堆酒坛搬开来,一个一个点了一下,果然一个不多,一个不少,恰好是122个,猜得真准呀!

原来他是计算出来的,因为酒坛叠得很有规律:每一层都排成长方形,而且下一层比上一层长、宽各增加一个,这堆酒坛有4层,他数得最上面一层长为5个,宽为3个,以下每层依次为6×4个,7×5个,8×6个,合计

5×3 6×4 7×5 8×6=122(个)。

一般地,假定共有n层,最上面一层为ab个,则以下每层依次为(a 1)(b 1)个,(a 2)(b 2)个,…,[a (n-1)][b (n-1)]个。所以这堆酒坛的总数为

S=ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) … [a (n-1)][b (n-1)]。

下面我们来进行推导:

ab=ab,

(a 1)(b 1)=ab 1×(a b) 12,

(a 2)(b 2)=ab 2×(a b) 22,

……

[a (n-1)][b (n-1)]=ab (n-1)(a b) (n-1)2,

∴S=nab A(a b) B。

其中,A=1 2 … (n-1)=n(n-1)2,

B=12 22 … (n-1)2=n(n-1)(2n-1)6.

∴S=nab n(n-1)2(a b) n(n-1)(2n-1)6

=n6[6ab 3(n-1)(a b) (n-1)(2n-1)]。

沈括认为通常求体积的各种公式,作为计算对象的形体都是实心的,但他的问题却是形体中间有空隙,因此就把这个方法称为隙积术了,不过,当时沈括把最上面一层的长和宽的个数分别记作a和b,最底下一层的长和宽的个数分别记作c和d,共n层,因此他得到的公式是

S=n6[(2b d)a (b 2d)c] n6 (c-a)