在一个大盒子里，装着许多黑白两种围棋棋子，怎么才能知道哪种颜色的棋子多一些呢？一种办法是分别数出它们的个数，进行比较；另一种办法是，每次同时取出一黑一白两种棋子，一直取下去，如果最后只剩下某种颜色的棋子，就说明这种颜色的棋子多，如果刚好取完，就说明两种颜色的棋子一样多。
但是，假如那个大盒子里装着无穷多个棋子，那就没有办法把两种颜色的棋子分别出来比较多少了，因为，至少有一种颜色的棋子是无穷多的。但是后一种办法却仍然可以使用：如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一种颜色的棋子，就可知道这种颜色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一个黑的，总能再拿出一个白的；拿出一个白的，也总能再拿出一个黑的，总说明它们是同样多的。
整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块，但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪的大科学家伽利略发现，当涉及无穷多个物品时，情况可就大不一样了。
比如有人问你：整数和偶数哪一种数多呢？也许你会认为：当然是整数比偶数多，而且是多一倍。如果从1数到100，那么就有100个整数，而其中只有50个偶数。那要是无穷多个整数和偶数呢？我们可以用“一一对应”的方法来比较一下：
……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6
……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……
对于每一种整数，我们可以找到一个偶数和它对应，反过来对于每一个偶数我们又一定可能找到一个整数和它对应，这就是整数和偶数是一一对应的，也就是说整数和偶数是一样多的。
为什么会得出这样的结论呢？这是因为我们现在讨论的整数和偶数是无限多的，在无限多的情况下，整体可能等于部分。
在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论。它揭示出：部分可以和整体之间建立一一对应关系，这正是含有无穷多个元素集合的本质属性之一。它也告诉人们：不要随便地把在有限的情形下得到的定理应用到无限的情形中去。
无法编成的目录
瑞士数学家贡塞斯曾说过这样一个故事：古老的亚历山大图书馆里，辛勤的学者卡里马楚斯正在埋头编制图书馆珍藏的亚里士多德学派着作目录。
他编着编着，忽然放声大哭，因为他感到无论怎样也无法完成目录的编制工作。事情是这样的，他将所有书目分成两类：第一类专收“自身列入的目录”，意思是目录中也列入这本目录自身的名目。
比如《美学书目》，这本目录收集的是这方面的书目，如果翻开一看，还收有《美学书目》这本书的名称，这就称这目录是“自身列入的书目”。第二类专收“自身不列入的目录”，翻开这本目录，找不到它自己的名目。比如《摄影作品目录》中，就没有《摄影作品目录》这本书自己的名目。
卡里马楚斯编完第二类目录，这本目录是第二类书目的“总目”。但他一想到这部“自身不列入目标”的“总目”，其名目该不该收入这本《总目》本身时，就发现这是个无法解决的难题。
因为如果“总目”不列入《总目》，不但不成其为《总目》，而且正好使它成为一部“自身不例入的目录”，就应列入。如果它自身列入的话，那就成为一部“自身列入的目录”，就没有资格列入自身。因而不列入自身，就必须列入自身；列入自身就不列入自身。无论列入或不列入，都不对，好像陷入了“魔地”，难怪学者卡里马楚斯也会放声大哭呢！
地图着色的四色猜想
人人熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同区域区分开来。这个地图着色问题，是一个着名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光辉。
在地图上区分两个相邻的国家或区域，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域。如一幅表示某个国家的省区地图，图中虚线表示各省界，可见。用两种颜色是区分不开的，三种颜色就够了。A、B、C三省各用一色，D省和B省用同样的颜色。
又如地图中1，2，3，4表示四个国家。因为这张地图的四个国家中任何两个都有公共边界，所以必须用四种颜色才能把它们区分开。
于是，有的数学家猜想：任何地图着色只需四种颜色就够了。
正式提出地图着色问题的时间是1852年。当时伦敦大学的一名学生法朗西斯向他的老师、着名的数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题。莫根无法解答，求助于共他的数学家，也没能解决。于是，这个问题一直传下来。
直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题。
奇妙的自然数
0、1、2、3……这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。
从一个小正方形开始，第一层虚线标出三个小正方形，第二层虚线标出五个小正方形……它说明了下面一些有趣的事实：
1=1-12
1=3=4=22
1+3+5=9=33
……
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82一般地，如果n是一个自然数，则：1+3+5+……+（2n-1）=n2。
对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：
13=12，13+23=1+8=9=（1+2）2
13+23+33=1+8+27=（1+2+3）2
13+23+33+43=1+8+27+64=（1+2+3+4）2
……
13+23+33……+n3=1+8+27+……+n3=（1+2+3+……+n）2
再来看6174这个数。把它的各位数从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：7641-1467=6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四拉数，只要它的四个数字不完全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，最终都将得到6174这个数。比如0923：
9320－0239=9081，
9810－0189=9621，
9621－1269=8352，
8532－2358=6174。
对随便一个六位数按上述方法计算，会得到三种结果：（1）631764的重复；（2）549945的重复；（3）下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
对八位数也有类似的结果，最后都归于63317664；对十位数来说，最后都归于6333176664，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。
1930年，意大利的杜西教授作了如下观察：
在一个圆周上放上任意四个数例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中最大的是n，则在重复4n－1步时，四个差数将相同。
三位数也有奇妙的性质。
任取一个三位数，将各位数字倒看排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：
195+591=786
786+687=1473
1473+7341=5214
5214+4125=9339
只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。
专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又有困难的问题，科学家们正努力加以解决。
和人捉迷藏的质数
一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫做质数。质数也叫素数，如2、3、5、7、11等都是质数。
如何从正整数中把质数挑出来呢？自然数中有多少质数？人们还不清楚，因为它的规律很难寻找。它像一个顽皮的孩子一样，东躲西藏，和数学捉迷藏。
古希腊数学家、亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼提出了一种寻找质数的方法：先写出1到任意一个你所希望达到的数为止的全部自然数。然后把从4开始的所有偶数画掉；再把能被3整除的数（3除外）画掉；接着把能被5整除的数（5除外）画掉……这样一直画下去，最后剩下的数，除1以外全部都是质数。如找1~30之间的质数：
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
后人把这种寻找质数的方法叫埃拉托塞尼筛法。它可以像从沙子里筛石头那样，把质数选出来，质数表就是根据这个筛选原则编制出来的。
数学家并不满足用筛法去寻找质数，因为用筛法求质数带有一定的盲目性，你不能预先知道要“筛”出什么质数来。数学家渴望找到的是质数的规律，以便更好的掌握质数。
从质数表中可以看到质数分布的大致情况：
1到1000之间有168个质数；
1000到2000之间有135个质数；
2000到3000之间有127个质数；
3000到4000之间有120个质数；
4000到5000之间有119个质数；
随着自然数的变大，质数的分布越来越稀疏。
质数把自己打扮一番，混在自然数里，使人很难从外表看出它有什么特征。比如101、401、601、701都是质数，但是301和901却不是质数。又比如，11是质数，但111、11111以及由11个1、13个1、17个1排列成的数都不是质数，而由19个1、23个1、317个1排列成的数却都是质数。
有人做过这样的验算：
12+1+41=43，
22+2+41=47，
32+3+41=53，
………………
392+39+41=1601。
从43到1601连续39个这样得到的数都是质数，但是再往下算就不再是质数了。
402+40+41=1681，
1681是一个合数。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费马，对质数做过长期的研究。他曾提出过一个猜想：当n是非负数时，形如f（n）=22n+1的数一定是质数。后来，人们把22n+1形式的数叫“费马数”。
费马提出这个猜想当然不是无根据的。他验算了5个费马数：
f(0)=220+1=2+1=3
f(1)=221+1=4+1=5
f(2)=222+1=16+1=17
f(3)=223+1=256+1=257
f(4)=224+1=65536+1=65537
验算的结果个个都是质数。费马没有再往下验算。为什么没往下算呢？有人猜测再往下算，数字太大了，不好算。但是，就是在第六个费马数上出了问题！费马死后67年，也就是1732年，25岁有瑞士数学家欧拉证明了第六个费数数不再是质数，而是合数。
f(5)=225+1=232+1=4294967297=641×6700417
更有趣的是，从第六个费马数开始，数学家再也没有找到哪个费马数是质数，全都是合数。现在人们找到的最大的费马数是f（1945）=221945+1，其位数多大1010584位，这可是个超级天文数字。当然尽管它非常之大，但也不是质数。哈哈，质数和费马开了个大玩笑。
在寻找质数方面做出重大贡献的，还有17世纪法国数学家、天主教的神父梅森。梅森于1644年发表了《物理数学随感》，其中提出了着名的“梅森数”。梅森数的形式为2p-1，梅森整理出11个p值使得2p-1成为质数。这个11个p值是2、3、5、7、13、17、19、31、67、127和257。你仔细观察这11个数不难发现，它们都是质数。不久，人们证明了：如果梅森数是质数，那么p一定是质数。但是要注意，这个结论的逆命题并不正确，即p是质数，2p-1不一定是质数。比如211-1=2047=23×89，它是一个合数。
梅森虽然提出了11个p值可以使梅森成为质数，但是，他对11个p值并没有全部进行验算，其中的一个主要原因是数字太大，难以分解。当p=2、3，5，7，17，19时，相应的梅森数为3、7、31、127、8191、13107、524287。由于这些数比数比较小，人们已经验算出它们都是质数。
1772年，65岁又目失明的数学家欧拉，用高超的心算本领证明了p=31的梅森数是质数：231=2147483647。
还剩下p=67、127、257三个相应的梅森数，它们究竟是不是质数，长时期无人去论证。梅森去世250年后，1903年在纽约举行的数学学术会议上，数学家科勒教授做了一次十分精彩的学术报告。他登上讲台却一言不发，拿起粉笔在黑板上迅速写出：
267-1=147573952589676412927
=193707721×761838257287
然后就走回自己的座位。开始时会场里鸦雀无声，没有过多久全场响起了经久不息的掌声。参加会议的人纷纷向科勒教授祝贺，祝贺他证明了第九个梅森数不是质数，而是合数！
1914年，第十个梅森数被证明是质数；
1952年，借助电子计算机的帮助证明了第十一个梅森数不是质数。
以后，数学家利用速度不断提高的电子计算机来寻找更大的梅森质数。1996年9月4日，美国威斯康星州克雷研究所的科学家。利用大型电子计算机找到了第三十三个梅森质数，这也是人类迄今为止所认识的最大的质数，它有378632位：21257787-1，同时发现了新的完全数：（21257787-1）×21257786。
数学家尽管可以找到很大的质数，但是质数分布的确切规律仍然是一个谜。古老的质数，它还在和数学家捉迷藏呢！
百鸡问题
百鸡问题是我国古代一个极为着名的数学问题，也是古代世界着名数学问题之一。
百鸡问题出自中国古代算书《张丘建算经》，题意是这样的：公鸡5元1只，母鸡3元1只，小鸡3只1元，100元可买100只鸡。问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？
答案有三种
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。
百鸡问题是一个求不定方程整数解的问题，解法如下：
设公鸡x织，母鸡y只，小鸡z只。根据题意可列出方程组：
x+y+z=1005x=3y+13z=100