28.十进位制
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“逢十进一位，逢百进两位，逢千进三位……”这种以十为基数的计数方法早在古代就发明了。它的发明，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如英国著名科学家李约瑟所说：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”十进位制是自然数的完美体现，在日常生活中统一了人们的计数方式。
⊙奇迹探秘：
1.谁发明了十进位制，它的发明时间是在什么时候呢？
第一个使用十进位制计数方法的人是古代的中国人，发明时间是在商代，大约在公元年前1300年。从已经发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已经使用个位数这9个数字符号和十、百、千、万这4个符号表示十万以内的自然数。这些记数文字的形状在后世虽有所变化，但是这种十进位制的记数方法一直被沿袭下来，没有中断，并日趋完善。
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从古至今，古代各国曾有十、十二、二十、六十等多种进位制，现如今都统一使用十进位制了。数学运算在很大程度上是依靠了十进制的伟大发明，而十进制的发明和确定，无疑为人类解决了如何计数的难题。
早在公元前 2500年，文明古国古巴比伦人率先采用位值制计数。但是他们采用的是六十进位制的计数方法。南美的印地安人出现了二十进位制的计数方法。但是二十位进制和六十位进制的出现仍然不足以简化计数的方法。
古埃及倒是很早就用十进制的计数方法，但他们却不知道位值制。所谓位值制，就是一个数码表示什么数，是根据它所在的位置而定。例如，个位上的5表示5×1，十位上5表示5×10，百位上的5表示5×100。而古埃及只是用其它符号表示一个数的倍数，如用字符i表示10的倍数，它不是用1-9有限的数字符号表示的。显然，古埃及的数字系统还不是真正意义上的十进位制。
在公元前1300年左右，中国人发明了十进制，即所有的数字只需用表示数字1-9的这9个符号和表示位值的十、百、千、万表示，渐渐地，人们学会使用○符号表示空位，实际上这就是数字0的使用，这种计数方法解决了千万以上数字表示的难题。
在6000多年前（新石器时代的晚期）的半坡遗址出土的瓦片上面已经出现了数字，表明在6000年前的中国已经出现了数字。在距今4000年左右的陕西、山东、上海出土的文物中，也有表示10、20、30这样的符号。
在殷商时代的甲骨文上的13个计数文字中，除九个可以确定是个位数之外，还有四个就是十、百、千、万这样的位值符号。这种甲骨文计数系统属于十进位制成法分群数列，这种数系由1-9九个数字和若干个十进位制的位值符号组成。在计数时，先将两组符号通过乘法结合起来以表示位值的若干倍，然后将分群后的位值符号组合（相加）起来。
甲骨文的十进制计数方式一直延续到现代。现代中国数字一、二、三、四、五、六、七、八、九、○，在唐代以前就已经形成，唐代还使用了大写数字壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、零，用在比较正规的场合，又叫做“官文书数字”。
在确立了十进位制之后，古代中国人还对数字进行了扩展，创造出了分数、小数、负数的概念，虽然分数线、小数点、负号这些符号不是中国人发明的，但是对数的性质的认识和概念的拓展，古代中国人还是它的第一发明人。
在6世纪时，诞生于中国的十进位制以算筹为代表传入印度，随后由阿拉伯人传入欧洲。但是，当时许多欧洲国家并没有认识到十进位制的优越性，直至文艺复兴以后，随着科学技术的突飞猛进，十进位制才获得世界各国认同并广泛应用。
十进位制计数方法的创造可谓是人类智慧的结晶。唯独古代的中国人，不论数字有多大，都能用仅有的9个算筹数字和零组合后表示，这是一项巨大的进步。他的发明为数学史作出了巨大贡献，正如同印刷术、火药和指南针，是中国对世界文明的重大贡献。
⊙奇迹探秘：
2.据说在珠算发明以前，算筹是古代中国人最有效的计算工具，它到底是什么呢？
算筹在中国的起源很早，中国古代的算筹不仅是正、负整数与分数的四则运算和开方的运算的工具，而且还包含着各种特定的演算。春秋战国时期的《老子》中就有记载：“善数者不用筹策。”算筹是在珠算发明以前，中国独创并且是最有效的计算工具。
根据史书记载和考古资料，古代的算筹实际上就是一些有着同样长短和粗细的小棍子，一般长为13-14厘米，径粗2-3毫米，它多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的。古代中国人习惯将二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带，当需要记数和计算的时候，人们就把它们取出来，摆弄一番。
别看算筹只是一根根不起眼的小棍子，中国古代数学的早期发达与持续发展都是受惠于算筹。而且它的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。
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【十进位制的原理】
中国有个成语叫“屈指可数”，相信十进位制的发明和十根手指有一定的关系。
十进位制，即所有的数字都用“0-9”这10个基本符号表示，若要表示一个数的10倍，就将这些数字左移一位，用0补上空位，即10，20……90；若要表示一个数的100倍，就将这些数字再左移一位，再用0补上空位，即100，200……900。若要表示一个数的1/10，就将数的位置右移，用0补上空位后，再在0后面加上小数点，如0.1，0.01等。
十进位制记数法包括十进制和位值制两条原则，“十进”即满十进一；“位值”则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值不同。如三位数“111”，最右边的“1”在个位上表示1个一，中间的“1”在十位上表示1个十，最左边的“1”在百位上则表示1个百。这样，就使极为困难的整数表示和演算变得简便易行。
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【六十进位制】
六十进位制是由古巴比伦人发明的计数方法。对于六十进制的起源有着两种不同的看法。
一种看法认为他们是以360天为一年，将圆周分为360度，太阳每天运行1度，而圆内接正六边形的每边恰好等于圆的半径，每边所对的圆心角恰好等于60°，六十进位制由此而来；另一种看法认为巴比伦人早就知道一年有365天，之所以选择60，是因为这个数是许多简单数字，如2、3、4、5、6、10、12等的倍数，60＝12×5，12是一年包含的月数，而5是一只手的手指数。
不管发明起源是怎样的，六十进位制是古巴比伦人留给我们的一项宝贵遗产。至今有不少领域仍在应用，如时间的概念，1小时等于60分，1分等于60秒；还有角度制等。我国的天干、地支的记年法也是六十进位制的应用。
29.欧氏几何
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欧氏几何全称欧几里德几何学。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德（Euclid）按照逻辑体系把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，用公理法建立起一种新的演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。他的整理使几何成为一门独立的、演绎的科学。
⊙奇迹探秘：
1.我们在日常生活和学校学习中都会看到、学到、用到几何，那么，几何究竟是什么呢？
“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里，这个词的含义与汉语的意思大相径庭。“几何”这个词的词义最早来源于希腊语，原意是土地测量，或叫测地术。中文的“几何”是由明代利玛窦（意大利来中国的传教士）、徐光启（明末科学家）合译《几何原本》时，由徐光启所创，是对拉丁文的发音与词义合并翻译而得来的。
几何学产生的历史和算术一样，也是产生于实践。在远古时代，人们在实践中积累了大量的关于图形的概念，又从这些概念之间，逐步了解到它们的一系列诸如位置和数量的关系，这些便成为后来几何学的基本概念。
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几何学是数学中最古老、最基础的分支之一，古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊等都是几何学的重要发源地。在远古时期，人们使用的物品如陶罐、石碗等等，上面都会绘有许多精巧、对称的图案。这些文物都证明，在史前时期，人类已经掌握了许多几何的基本知识。
而几何之所以能够成为一门系统的学科，与古希腊人的努力是分不开的。在2000多年前的古希腊，一大批学者热心致力于追求科学知识。当时，研究几何也成为这些学者最为感兴趣的事情。哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德都对发展几何学作出了卓越的贡献。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识在逻辑学的指导下逐步变得系统与严密。而亚里士多德则被公认为是逻辑学的创始人。他的“三段论”的演绎推理方法，对于几何学的发展影响巨大。直到今天，在初等几何学中，仍然在运用三段论的形式来进行推理。
尽管当时人们已经有了如此丰富的几何学知识，但是这些知识都是零散的、孤立的，并没有成为一个系统的知识体系。真正将几何整理成一门具有比较严密理论的学科的人，是古希腊杰出的数学家欧几里德。
在公元前300年左右，欧几里德详尽收集了当时他所能知道的一切关于几何的理论与事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的逻辑学的推理方法，推导出一系列定理，并将其组成演绎体系，整理成一门有着严密系统的理论，写成数学史上早期的巨著--《几何原本》。这本巨著的问世，标志着欧氏几何学的建立。
《几何原本》是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，它首次建立了公理化结构，对数学的发展产生了不可估量的影响。从它的发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密理论系统和科学方法的学科。
但是，由于历史条件的限制，欧几里德的《几何原本》存在着漏洞，他的理论体系在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点，而且他的公理系统由于有一些缺乏独立性和证明性的公理而显得并不完备。
直到1899年，德国数学家希尔伯特出版了《几何基础》一书，他在这部名著中建立了希尔伯特公理体系，这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构完善而严谨的体系，同时也标志着欧氏几何完善工作的终结。
欧氏几何不仅对几何学、数学和科学的未来发展起到了推进作用，它对于西方世界的整个思维方法更是有着极大的影响。
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2.欧氏几何的发现者欧几里德是一个什么样的人呢？
欧几里德（约前330-前275），古希腊著名的数学家、欧氏几何的开创者，被称为“几何之父”。欧几里德出生于古希腊的文明中心雅典，在托勒密一世（前323-前283）时期，长期在亚历山大里亚（亚历山大大帝在公元前332年建立的城市）工作，是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德最著名的著作是《几何原本》，它是欧洲数学的基础，还被广泛地认为是历史上最成功的教科书。另外，欧几里德也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
3.《几何原本》是一本伟大的巨著，那么它里面具体都讲了些什么呢？
《几何原本》是欧氏几何的奠基之作，它几乎包含了现代中学课程里所教授的初等几何的全部内容。它列出了23条定义、5条公理和5条公设。定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础，而且书中还详细记录了在这些基础上演绎证明出来的465条定理，这部巨著涵盖了直线及圆的性质、比例论、相似形、数论、不可公度量的分类、立体几何以及穷竭法等一共13卷的内容。可以说，《几何原本》是数学史上第一座理论丰碑。
另外，由于这部巨著具有鲜明的直观性和缜密的逻辑演绎方法，在长期的实践中，它已成为培养、提高思维能力的绝佳教材，历史上伟大的科学家如牛顿、笛卡儿、爱因斯坦等等，都从这本书的几何学习中得到益处，从而为人类与社会作出了卓越贡献。
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【欧氏几何的5条公设与5条公理】
欧氏几何是通过有限的公理，来证明所有的基本定义和已存在的“真命题”，它的传统描述是一个公理系统。
欧氏几何的5条公设是：
1.任意两个点可以通过一条直线连接。
2.任意线段能无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都全等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第5条公设又被称为平行公设，这一公设引发了历史上著名的关于“平行线理论”的大讨论，这一讨论延续了2000多年，许多几何学家试图用其他几条公设去证明它的正确性，但都没有成功。直到19世纪，科学家们通过构造非欧几里德几何，才最终说明平行公设是不能够被证明的。
欧氏几何的5条公理是：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，其和仍相等。
3.等量减等量，其差仍相等。
4.彼此能够重合的物体是全等的。
5.整体大于部分。
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【现代几何公理体系】
德国数学家希尔伯特不仅提出了一个比较完善的公理学体系，而且还提出了一个建立公理系统的原则，这个原则就是在建立任何一个几何公理系统的时候，都需要考虑三个方面的问题：
第一，共存性（和谐性），在一个公理系统中，各条公理的共存不应互相矛盾；第二，独立性，公理体系中的每一条公理都应该不依赖于其他公理，独立存在；第三，完备性，公理体系中所包含的公理，应是足够能证明本学科的新命题。
将几何学中的基本对象和它的关系用公理体系来定义的研究方法，成为数学中的“公理化方法”。这种方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学。
30.勾股定理
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