数学在很多方面来看都是各门学科当中最精细和最复杂的，至少在我这个数学家眼里看来是如此。因此我发现，在描述数学的进步时自己会感到特别愉快，也有特别的约束，因为数学一直以来是人类玄思妙想当中的一部分：是人类的智力攀升过程当中出现的一道通往神秘和理性思维的阶梯。但是，有些概念是任何一类数学史稿都必须要包括进去的：求证的逻辑思想、自然（尤其是空间）的准确法则的经验概念、运算概念的出现，以及数学从对自然的静态描述转向动态描述的运动。
每一个原始民族都有自己的数字系统，这个系统有可能计算不超过4的数，但他们知道，任何东西当中的两个加上同样的两个东西一定等于四，不是有时候等于，而是总是等于。从这基本的一步出发，许多民族都建立起了自己的数字系统，一般是用书面语言，而且应用相同的规则。例如，巴比伦人、玛雅人，还有印度人，他们发明的书写大数的方法跟我们今天使用的方法是一样的，也就是把数字排成位数的系列，尽管他们在时间和空间上离开我们很远。
因此，我不可能站到历史的任何一个地方或任何一个时刻来宣布：“算术从这里开始，从现在开始。”人们一直都在计数，就如同他们一直都在讲话一样，每个民族都是一样的。算术跟语言一样，都是从传奇当中开始的。但我们概念当中的数学，也就是以数字推理，却是另外一回事。正是为了寻找这一根源，就是在传奇与历史交接的部位寻找这一根源，我才乘船去了萨摩斯岛。
在传奇时代，萨摩斯岛是希腊的崇拜中心，人们在这里祭颂天空女神赫拉，她是宙斯的合法（而且爱吃醋的）妻子。供奉她的神庙叫赫拉神庙，是公元前6世纪的产物。当时，也就是约公元前580年左右，萨摩斯岛上出生了第一位天才，也是希腊数学的创始人毕达哥拉斯。在他的生活时代，萨摩斯岛被暴君渡利克拉迪斯所侵占。现在有一个传说，讲毕达哥拉斯逃亡之前，曾在隐居期间进入一个小小的白色山洞教书，现在，这个山洞仍然向轻信者开放。
萨摩斯岛是一个神奇的岛屿。这里弥漫着大海、树木与音乐的气息。其他的希腊岛可以用作《暴风雨》的背景，但是，在我看来，这是普洛斯彼罗的岛，就是那位学者变成魔术师的海滩。也许，在他的从者眼里，毕达哥拉斯就是一位魔术师，因为他教他们说，自然是由数字所统治的。自然里面存在一种和谐，他说，自然的千变万化都有内在的统一，而且还有一种语言，数字就是自然的语言。
毕达哥拉斯在音乐的和音与数学的和谐之间找到了一个基本的关系。他的发现的故事只是零散地留存下来，就跟民俗故事一样。但是，他发现的内容却是非常准确的。作为一个整体颤动的单根拉长的弦会产生一个基准音符。与这个音符一起发出和音的那些音符，是将这根弦分成严格的数字部分后产生的：可以准确地分成两个部分，分成三个部分，分成四个部分等等。如果这根弦上的静止点，也就是节点，并不能吻合这些点，那么，发出的声音就是不和谐的。
颤抖的弦发出基准音符。节点就在中间的地方，这根弦刚好发出高出一个八音符的声音。如果节点沿着这根弦往前移动三分之一，弦就会发出这个点之上五分之一的音，如果往前移动四分之一，那它就发出四分之一的音，高出一个八音符。往前移动五分之一，那就高出一个大三度。
当我们在弦上移动节点的时候，会明白到达事先规定的点位的时候，音符就发出和谐的音。从整根弦开始：这是基准音符。将节点移动中间点，这就是基准点之上的八音符。将节点移到三分之一处的一个点上，这是基准音之上的五分之一。移到离基准音四分之一的一个点上，这就是四分之一，再高出一个八音符。如果你把节点移到五分之一的地方，这就会高出基准音的一个大三度（毕达哥拉斯并未移到此处）。毕达哥拉斯发现，发出悦耳音——对西方A的耳朵而言——的和弦对应于整数的分弦点。对于毕达哥拉斯学派的人来说，这个发现里面有一股神秘的力量。自然与数字之间的和谐如此确切，因而使他们相信，不仅仅自然的声音，而且自然所有特征性的尺度，都一定有一些简单的数字来表达其和谐之处。例如，毕达哥拉斯或其弟子相信，我们应该能够计算出天体的轨道（希腊人在结晶体上画的画认为天体围绕地球转动），比如使其与音乐的间隔产生关系；他们感觉到，自然当中所有的规律都有音乐性，天体的运行在他们看来就是球体的音乐。
这些想法为毕达哥拉斯确定了在哲学当中的预言家的地位，几乎是一个宗教领袖，他的随众形成了一个秘密和也许是革命性的宗派。有可能是这样一种情形，毕达哥拉斯的许多后世的随众都是奴隶，他们相信灵魂的超度，这也许就是他们希望来世过上幸福生活的一条道路。
我一直在谈论数学的语言，也就是算术，但我最后的例子是天体，也就是几何形状。这样的过渡并非偶然。自然在我们面前展现出很多形状，有波形，有晶体形，有人体形，而且只有我们人类才有这样的视觉存在，并在这些形状当中找出数字关系来。在几何与数字的联系当中，毕达哥拉斯做了开创性的工作，而且，因为我在众多的学科当中选择了数学，因此，看看他都做了些什么样的工作是很有趣的。
毕达哥拉斯证明，声音的世界由准确的数字所统治。他继而证明，同样的情形在视觉世界里也是一样的。这是相当了不起的成就。我看看自己。我在这里，在希腊这块色彩斑斓、令人称奇的风景里，四周都是千奇百怪的自然外形，有俄菲克山谷。有大海。在这一片美丽的混沌之下，那个简单的数学结构埋藏于什么地方呢？
这个问题迫使我回到自然法则的感觉当中最原始的常数。为了圆满地回答这个问题，很明显，我们必须从经验的宇宙开始。我们的视觉世界基于两大经验：地下引力是垂直的，地平线与引力形成直角。就是这样的一个联想，就是视野里的这些交叉线固定了直角的本质的，因此，假定我来转动这个经验的直角（“向下”的方向和“侧边”的方向）四次，回到地心引力和地平线的交叉处。这个直角是由四重操作确定的，而且由这四层的操作加以区别，不同于其他任意一个角。
在视觉的世界里，在我们的眼睛提供给我们的竖直图画的平面上，直角是由其四重的旋转，而且重新回到自身来确定的。同样的定义在经验的地平线世界里也是一样真实的，在这样的经验世界里，我们事实上就在这样的一个经验世界里移动着。考虑这个世界，考虑扁平地球与地图以及指南针的各点的世界。在此，我在看萨摩斯岛与小亚细亚之间的地峡，就在正南方。我捡起一块小瓦片指着那边，指着南方。（我把那根指针做成了直角三角形的形状，因为我希望使其四次转动依次进行。）如果我将这个三角形转动一个直角，它会指向正西。如果我现在再转动一个直角，它会指向正北。如果我再转动一个直角，它会指着正东。最后，第四转和最后一转会使其再次对着正南，也就是指着小亚细亚，就是它开始的方向。
不仅仅是我们体验到的自然界，而且还有我们构建的这个自然界也是建立在这层关系上的。自从巴比伦入建造空中花园的时候起，事情就一直是如此了。而且在更早的时候，自从埃及人建造金字塔的时代起就是这样了。这些文化已经在实际的意义上知道了，有一个建造者的三角板存在着，在这个三角范围内，数字关系确定一切，并形成一个直角。巴比伦人知道很多，也许数以百计的此类公式，而且那还是公元前2000年的时候。印度人和埃及人也都知道一些。看来，埃及人几乎总是用一把三角板来处理由三、四或五个单位构成的三角形的边的。直到公元前550年之后，毕达哥拉斯才使这个经验世界里的知识走了出来，进入了我们现在称为求证的世界。也就是说，他提出这么一个问题：“一个直角就是你转动四次之后仍然指着同一个方向的东西，那么，构成这些建造者的三角的数字，如何从这样一个事实当中流溢而出？”
我们觉得，他的求证过程大概是这个样子的。（这并不是教科书中所列的求证过程。）在指南针上构成交叉点的三角上的四个主要的点：南、西、北、东。是一个边角。我滑过了这四个三角形，这样一来，每一个顶端最长的边就能够在邻近的那个边的最前面的点上结束。现在，我构造了一个方形，就在直角三角形的最长的边上，也就是在斜边上。这样我们就有可能知道哪是封闭区域的一部分，哪一个不是其中一部分，我将用另外一块瓦片盖住目前尚且没有盖住的里面的小方块区。（我使用瓦片，是因为在罗马，在东方，许多瓦片图案从那时起都源自数学与关于自然的思考的结合。）
现在，我们在斜边上就有了一个方块。我们当然也可以通过计算另外两个较短的边的平方使之发生联系。但是，这会错过自然的结构和图形的内在性质。我们并不需要任何计算。儿童和数学家都会玩的一种小游戏，就可以显示出比这道计算题更多的内容。颠倒两个三角形的位置。将对准南边的三角形移动一下，使其最长的边贴近指着北边的那个三角形的最长的边。然后移动指着东边的三角形，使其最长的边贴着指向西边的三角形最长的边。
现在，我们就构成了一个L形的图形，其面积是一样大的（当然，因为它们是由同样的一些块构成的），这个面积的各边是我们可以从直角三角形较短的边上立即看到的。我们来把这个L形的图形的构成弄得更容易看到吧。将一个分割器放在上面，使其分开L形的顶端与竖直的部分。然后，很明显，顶端是三角形较短边的平方，L形的竖直部分是合成直角的两个边当中较长的一个边的平方。
毕达哥拉斯因此而证明了一个公理：不仅仅适用于埃及的3：4：5的三角，适用于巴比伦人的三角，而且还适用于包含一个直角的任何一个三角形。他证明，最长边或斜边的平方等于另外两条边当中的一个边的平方加上余下一边的平方，假如，也只有当它们所包含的角是一个直角的话。例如，3：4：5三条边构成一个直角三角形，因为
5（2上标）=5×5=25
=16+9=4×4+3×3
=42+3（2上标）
巴比伦人发现的三角形的各边也是这种情况，不管是简单的8：15：17，或是可怕的3367：3456：4825，这毫无疑问地让我们明白，他们对算术很在行。
到今天，毕达哥拉斯定理在数学的全部公式当中仍然是最为重要的公理之一。说起来这可能是一个相当大胆和极其出格的话，但是，这话一点也不夸张。因为毕达哥拉斯建立的东西，是我们在其中运动的空间的基本的概念化，而且也是这个特征第一次转换成数字的时候。而这些数字准确的结合正好描述了约束住宇宙的严格法则。事实上，有人提议用构成直角三角形的那些数字作为人类可能发往其他星系中的行星的消息，作为那边有否理性生命存在的一种检测。
关键在于，我在上面证明过的毕达哥拉斯定理，是对平面空间对称性的一种解释，直角是对称的一个元素，它将平面分割成四大块。如果平面空间有不同的对称性存在，这个公理就不可能是正确的。特别三角形的各边之间的其他一些关系就可能是正确的。空间跟物质一样是大自然关键的一部分，哪怕（跟空气一样）它是看不见的。这就是几何科学所要研究的内容。对称并不仅仅只是用于描述的一个准确词汇，跟毕达哥拉斯的其他思想一样，它能够穿透自然中的和谐。
毕达哥拉斯证明了这个伟大的定理之后，他贡奉了100头公牛给女神，以谢所得的灵感。那是一十自豪和谦逊的举动，当数字产生吻合，并说出：“这就是自然本身的结构的一部分，也是极其关键的一部分”的时候，到今天为止的每一位科学家都会感觉到这样的心情。
毕达哥拉斯是一位哲学家，对他的弟子们来说，他还是一位宗教领袖。事实是，在他身上有某种亚洲人的影响，这样的影响通过希腊文化流传过来，这也是我们一般都忽略了的。我们往往觉得希腊就是西方的一部分，但是，萨摩斯岛是古代希腊的边缘，它离小亚细亚的海岸仅有一英里之隔。最先激励了希腊人的很大一部分思想就是从那里开始流动的，而且在出人意料的情况下，它又在接下来的许多世纪里流回到了亚洲，然后才到达西欧。
知识会走出天才的路线，在我们看来属于时间中的一大步的东西。经常证明是从一地到另一地，从一个城市到另一个城市的渐变的过程。车队随着商品一起将他们那些国家的贸易方法带了回来，重量及测量，计数的方法，技法与思想也跟着他们一起走，到了亚洲，然后又到北非。作为众多例子当中的一个例子，毕达哥拉斯的数学并非直接传到我们这个时代的。它点燃了希腊人的想像力，但是，它变成一种有秩序的系统的地方却是亚历山大港的尼罗城。形成这个系统的人，并使其十分著名的人是欧几里得，他可能是在公元前300年左右带到亚历山大港去的。
欧几里得明显属于毕达哥拉斯的传统。有人曾问他说，一种公理到底有何实际用处，据说，欧几里得带着嘲讽的口气对自己的奴隶说：“他希望从学问当中谋利，给他一个便士。”这句责难的话可能是从毕达哥拉斯的一句名言当中改出来的。其大概意思是：“一幅图就是一大步，而不是一幅图就有一分钱。”这里的“一步”是指知识的进步，或者是我称之为人类的攀升的东西。
欧几里得作为数学推理模范的影响是巨大的，持久的。他的书《几何原本》是除开《圣经》之外翻译的语言最多和印量最大的一本书，一直到现代都是如此。我最早学数学的时候，讲课的人还在引用欧几里得给他们的那些数字引述几何公理，而这种情况在甚至50年前都不算什么新奇事，也是过去最标准的参考方式。1680年，约翰·奥伯雷写到托马斯·霍布斯中年时如何突然“爱上几何学”，因此也爱上哲学的事情时，他解释说，霍布斯突然在“一个先生的图书室里看到了摊开的一本欧几里得《几何原本》，是第一册的第47页”。欧几里德《几何原本》第一册里的命题47是毕达哥拉斯的著名公理。