1824年，年仅22岁的挪威数学家阿贝尔从理论上证明了一般四次以上的方程没有求根公式。但是，阿贝尔的研究并不彻底。例如，为什么有的特殊高次方程能用公式求解呢？如何准确判断哪些高次方程可用公式求解呢？伽罗华就是想解决这些问题。也就是说，伽罗华实际上开始研究的是方程论和群论。1828年，17岁的中学生伽罗华写成了他的第一篇数学论文，实际上涉及群论的初步理论，题目是《关于五次方程的代数解法》。1829年3月，他的《循环连分数的一个定理的证明》在法国《纯粹数学与应用数学年刊》上发表，这是他一生仅发表的五篇论文中的第一篇，其余四篇是：《分析的某些要点短评》、《剖析一篇关于方程的代数解法的论文》、《关于数值方程解法的注记》和《数论》。
1829年5月底，伽罗华中学将毕业时，他将《关于五次方程的代数解法》提交给了法国科学院评判。这年6月1日，法国科学院讨论了伽罗华的论文，决定由当时法国最著名的数学家柯西主审。1830年1月18日，柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的听证会。他在一封信中曾这样写道：“今天我应向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但我因病在家。我很遗憾地未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议以讨论已指明的问题。”但具有戏剧色彩的是，当第二周柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，却未介绍伽罗华的论文。为什么这样奇怪？这很值得研究。此外，由于伽罗华的论文中有许多新概念，文字也过于简略，柯西希望伽罗华重写，详述他的理论。于是伽罗华第二次写了一篇更详细的论文于1830年2月底呈交给科学院。这时柯西即将离开法国，论文便由另一位法国数学家傅立叶主审。傅立叶把论文带回家中，但不久便于5月16日因黏液性水肿病辞世，论文也不知下落。两次挫折，使伽罗华十分恼怒。他写信质问法国科学院，为什么“小人物”的研究成果被如此轻视？在这种情况下，科学院只好让法国数学家泊松出面要求伽罗华再次提交其论文。1831年1月27日，伽罗华第三次提交论文，题目是《关于用根式解方程的可能性条件》。主审泊松认为，论文的一部分内容可在阿贝尔的著作中找到，其余内容则“不可理解”。事实上，泊松并没有完全看懂伽罗华的论文。于是伽罗华的成果被埋没。
1829年7月，伽罗华决定第二次报考巴黎理工大学。但就在7月2日，身为小镇长且具有自由主义倾向的父亲却因不堪忍受诬陷、诽谤而自杀，这对伽罗华刺激很大。考场上主考教师对伽罗华介绍自己方程论的研究成果毫无兴趣，相反却故意提出一些人为制造出来的错综复杂的问题来刁难他，使伽罗华十分恼怒。他请求主考人注意他的发现，但回答他的却是大声狂笑。伽罗华再次被激怒，他忍无可忍，不顾一切将擦黑板的抹布扔向主考官，其结果当然是第二次被理工大学拒之门外。当年10月25日，他转而考上巴黎高等师范学校预科生。当时该校的生活方式就像修道院一样。早餐前、课前都要大声朗读祈祷文，晚睡前要听宗教训话，每月要忏悔一次，如连续两月不忏悔，就要被开除。这对从小具有自由思想的伽罗华来说实在是一种惩罚，但生活费总算有了着落。
当伽罗华前述关于群论的研究接近完成之时，他的生活开始卷入政治活动之中。1830年7月，法国发生了七月革命，迫使波旁王朝国王查理十世下台，巴黎理工大学学生在斗争中起了积极作用。而在伽罗华所在的高等师范学校的同学们却被校长关闭在校园内。伽罗华愤怒地试图越墙而出，但未成功。他还在《学校公告》上发表长文揭露校长的两面派行为。校长恼羞成怒，于1830年12月宣布，开除进校仅一年的伽罗华的学籍。但伽罗华却并没有因此改变自己的主张，仍参加革命宣传和集会、游行。1831年5月，资产阶级共和派激进分子组成的“民友社”举行了一次庆祝胜利的宴会，伽罗华一手举杯，一手持刀为国王路易·菲利浦“干杯”。第二天他便以“煽动谋害法兰西国王未遂罪”被捕。只是由于证据不足，经律师尽力辩护，才免去了牢狱之灾，被无罪释放。同年7月14日，伽罗华在纪念攻占巴士底狱时，非法穿着国王已下令解散了的炮兵卫队的制服，被认为是向国王的挑衅行为，又一次被捕入狱。狱中曾遭暗枪射击，幸未被击中。他在狱中仍坚持数学研究。因监狱流行传染病，服刑九个多月后的1832年4月29日，他才被释放出狱。
一个月后的1832年5月29日，年轻气盛的伽罗华在别人的挑唆下，为了“爱情与荣誉”——一个医生的女儿，要和另外一个人决斗，自己极有可能命归黄泉。于是在这最后的夜晚，他在飞逝的时间里焦躁地写出他的遗言，他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲，尽可能地在死前把他丰富思想中的伟大东西写出来。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸地为一个折磨数学家们几个世纪的难题找到了真正的答案，那就是他创立的群论。它不但使高次方程求根公式问题得到了彻底的解决，而且阿贝尔定理、古希腊三大几何作图难题，都变成了明显的推论或简单的练习题。不但如此，其后人们还逐渐认识到，群论在代数学上具有划时代的意义：方程论已不是代数学的全部内容了。伽罗华的理论被公认为是19世纪数学最伟大的成就之一，对物理、化学等学科也有重大影响。
他还写了两封信。一封信是写给他的革命战友的。他在信中说：“我请求我的爱国朋友们不要责备我不是为自己的祖国而献出生命。苍天作证，我曾用尽办法试图拒绝这场决斗，只是出于迫不得已才接受了挑战。别了，我为公共的利益已经献出了自己的大部分生命。”
另一封是写给他的朋友舍瓦列的。他在信中写道：“我在分析方面做出了一些新的发现。有些是关于方程论的，有些是关于整函数的……（请您）公开请求雅可比或高斯，但不是对于这些定理的正确性而是对于它的重要性发表意见。此后我希望某些人将会发现清理这种一团混乱的状况是有益的。”
舍瓦列按照伽罗华的遗愿，将他的信发表在《百科评论》上，这是数学史上最悲壮的作品。而他的主要论文《论方程的根式可解性条件》，直到他死后14年即1846年，才在法国数学家刘维尔（1809~1882）于1836年创办的《纯粹与应用数学杂志》上发表，由刘维尔作序向数学界推荐。1844年～1846年伽罗华的大部分论文发表后，一些数学家才开始对他的理论感兴趣。1852年，意大利数学家贝蒂（1823~1892）发表文章，开始介绍他的理论，但对其重要性的完全理解，则是在伽罗华死后38年即1870年法国数学家约当（1838~1922）和德国数学家克莱因（1849~1925）的有关著作问世之后。
新说遭冷淡跳楼自杀的迈尔
恩格斯在《自然辩证法》中认为，能量转化和守恒定律是“由三个不同的人几乎同时”在物理学中“划时代的一年，即1842年总结出来。迈尔在海尔布隆，焦耳在曼彻斯特，都证明了从热到机械和机械力到热的转化”。
迈尔是一位物理学家，1814年12月25日生于德国海尔布隆。他少年时代对药品的试验很有兴趣，在父亲的鼓励下，终于走上了学医的道路。他学医的大学是蒂宾根大学，于1838年获得学位，次年25岁时便在汉堡正式开业行医。
就在他正式开业行医不久，一艘海轮要从荷兰到印度尼西亚的爪哇岛，于是他以“船医”身份作了这次从1840年1月～1841年1月的海外之行。在枯燥无味的海上生活中，他经常和船员聊天。一天，船员告诉他，暴风雨来时海水的温度会略为升高。这使他原来关于热与机械运动之间相互转化的思想得到进一步的启发。1840年2月，船队到达爪哇岛的巴达维亚。因船员中流行着很严重的肺炎病，他便从患者手腕的静脉中抽出一些血来治疗，这就是传统的“放血疗法”。他惊奇地发现，理应变黑的静脉血比在欧洲时更红。这一奇怪的现象引起了他的思考：这是什么原因呢？经过思考后他认为：动物的体温是由血液和氧结合（燃烧的缓慢形式）的结果，要保持一定的体温，在气温高的热带地方只需少量的燃烧就够了；或者从另外一个角度说，热带维持体温需要的新陈代谢的速度就比寒冷的欧洲低，在动脉中所消耗的氧就较少，所以从较冷的荷兰去较热的爪哇后船员的静脉血更红也就不足为奇了。由此他还进一步认识到，体力和体热都必定来源于食物中所含的化学能，如果动物体的能的输入同支出是平衡的，那么，所有这些形式的能在量上就必定守恒。由上可见，这段“船医”生活使迈尔大致形成了能的两个观点：相互转化，量上守恒。这次海上之行便成了他在物理学上做出永载史册的重大发现的起点，但也种下了他悲剧之树的祸根。
1841年迈尔回到海尔布隆后，他对航海期间的新发现的思考进行了总结，并由此写出论文《论力和量的质的测定》，这一工作是他利用行医的余暇时间作的。但他于当年6月16日把论文寄给《物理学和化学年鉴》（也译《物理学与化学杂志》）时，却被以不收思辨性文章和无严密科学论证为由拒绝发表，并且未退稿。《物理学与化学杂志》是当时最权威的刊物之一，由德国物理学家波根多夫（1796~1877）任当时的主编，他于1824年接手办这一杂志已历时17年，他早年作过药剂师，后在柏林大学任教，在电磁学领域对电流计和电池很有研究和创新。这样，权威学者和权威刊物的拒绝给迈尔当头泼下一瓢冷水。不过，36年之后，《物理学与化学杂志》就后悔不迭了：他们失去了优先发表能的转化和守恒定律的机会。于是作了一个亡羊补牢式的补救措施：由J.K.F.第尔纳从编辑部中将迈尔36年前的论文取出来发表。有趣的巧合是，这一年波根多夫辞世。
不过，《物理学与化学杂志》的拒绝刊载这瓢冷水，并没有浇灭迈尔心中的烈火。在朋友的规劝下，他用物理实验来证明自己的思想，以下两个小实验就是他做过的。一个是让一块凉的金属从高处落在一个盛水的器皿里，结果水的温度升高了；现在我们知道，这是重力势能转化为热能的结果。另一个是将水用力摇动，水的温度也会升高；这是动能转化为热能的结果。但这些实验都没有定量的结果。为了得到定量的结果，他在1842年由空气的热容商及恒压热容，最早算出“热功当量”，为1卡＝3.58焦。热功当量这一概念最先也是由他提出来的。他列出了25种能量相互转化的形式，例如机械能可转化为热能、电能、磁能、化学能。他把这些成果写成《论无机界的力》一文，发表在德国化学家李比希（1803~1873）主办的《化学和药物杂志》1842年5月号上。但可惜的是，当时人们仍未注意。1845年，他又把能的转化和守恒思想应用于非生物界、生物界和宇宙，先后发表了《生物界的运动和物质代谢的关系》和《对天体力学的贡献》等论文，进一步阐述他的科学发现。然而，他的发现却未能带来好运。
首先，人们开始并不承认能的转化和守恒定律。一次，他在海德尔堡遇见了约利，约利嘲讽他说，如果你的理论正确，那把水烧热就不要燃料了，只需把水晃动就行了。约利仓促发难，迈尔一声不吭地走了。几周以后，迈尔到约利那里，对他说：就是那样，就是那样！但像约利的这类讥笑却未终止。
第二，英国物理学家焦耳（1818~1889）错误地向迈尔发起了能的转化和守恒定律这一科学发现的优先权之争。与迈尔大致同时，焦耳也在进行类似的研究，不过他的侧重点是准确测量热功当量，对这个定律的最终确立也起了很大的作用。然而，在1848年，当迈尔等人的工作不断地证明这一定律的正确性，并开始有一些人承认的时候，焦耳却受名利欲望的驱使，向迈尔发现这一定律的优先权发起进攻。他在文章中说，迈尔对热功当量的计算没有完成，迈尔只不过是预见到热和功之间存在一定数量比例关系，但却没有证明这一关系，而首先证明这一关系的是他——焦耳。随着焦耳发起的这场争论的扩大，本来是各自独立发现这一定律的事实被混淆了这使迈尔陷入非常难于辩解的痛苦境地。
理论不被认同反遭讥笑，开始有人认同时却又有人来争发现权并被错误指责，这双重压力已经够受的了。然而，迈尔的悲剧还在继续，此时他的两个孩子先后因故身亡，这无疑是雪上加霜。在这内外交困之时，迈尔于1849年5月29日从二层楼的窗口跳楼自杀（未遂），使这场悲剧达到高潮。接着，迈尔精神紊乱，于1851年关进精神病院治疗近两年，受到疾病的残酷折磨，吃尽了苦头。他虽于1853年出院恢复了自由，但从此精神就未完全正常过，以致在疾病和“人世艰难”双重折磨下，痛苦地度过了20多年的悲惨余生，于1878年3月20日死在海尔布隆。