高斯从小就显露出数学的才华；他19岁时，证明了可以用圆规和直尺作正十七边形。
尺规作图问题是历史遗留下来的、极其困难的问题之一。
19岁就发表了被称为“代数基本定理”的博士论文。高斯也花费了许多心血去证明第五公设。
当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是：“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理；反过来，如果把平行公理当作公理，同样可以把第五公设当作定理证明出来。由于平行公理叙述比第五公设简单、明确，因此证明第五公设的大军都转向证明平行公理去了。
当高斯竭尽全力也证不出平行公理时，他逐渐意识到平行公理是不可能证明的。1817年，40岁的高斯给朋友写信时提到：“我日益相信几何学中所需要证明的部分是不能证明的，至少对于人类的智力来说是不能达到的。”但是，高斯并没有停止在“不能证出”这一级阶梯之上，他又往更高处攀登，他发现了一种前人所不了解的惊人的新几何学。
后来，数学家又发现平行公理和“三角形内角和等于180°”也是等价的。如果能证出“三角形内角和等于180°”也就等于证出了平行公理，证出了第五公设。
1824年，47岁的高斯给朋友的信中写道：“三角形的内角和小于180°，这个假定引向一种特殊的和我们的几何学完全不相同的几何。这种几何是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。”
既然高斯发现了一种与欧几里得几何完全不同的几何学，他为什么不赶快发表呢？40多岁的高斯，当时在欧洲是数学界最高的权威，有很高的声望。他担心这种新几何学发表以后，别人不但不理解，反而会讥笑、嘲讽他。不敢冒丢失名誉的风险，使得高斯一辈子没有公开发表这种新几何学。
正当高斯犹豫时，一位匈牙利少年波约伊把这种新几何学提了出来。
小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友。老波约伊一辈子都试图证明平行公理，但是没有获得成功。当小波约伊知道父亲在致力于证明平行公理时，一种好奇心驱使他也参加证明平行公理的行列。老波约伊知道自己的儿子也在醉心平行公理的证明时非常紧张。他害怕儿子也和自己一样，证一辈子平行公理也毫无结果。他赶紧写信给在维也纳读书的小波约伊，信中写道：“希望你再也不要做证明平行公理的尝试。即使你花去所有的时间在这上面，你一辈子也证不出这个定理。”信中又写道：“在这方面，我埋没了人生的一切亮光和欢乐。上帝啊！希望你放弃这个问题，对它的害怕应该多于感情上的留恋。因为它会剥夺你生活中一切时间、健康、休息和幸福。这个无希望的黑暗能够使上千座牛顿之塔沉没，这个黑夜任何时候都不可能使大地上见到光明。”
父亲的劝告并没有阻止小波约伊对平行公理的钻研，而且很快得出了与高斯发现的同样结果。他于1823年高兴地写信给父亲说：“我坚决地决定发表自己关于平行公理的工作，只要我把资料整理好，我就这样做，现在我虽然还没有完全达到目的，但是我已经获得一些令人注目的结果；如果这些东西遭受摧残的话，那就太可惜了。当您看到这些结果的时候，您也会这样想的。我先说这么一点，我已经从乌有中创造了整个世界。”小波约伊提出这种新几何学时，年龄刚满21岁。
1832年出版了老波约伊的一本几何著作。在这本书的最后，以附录方式发表了小波约伊整理出来的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文。
小波约伊非常希望得到数学权威高斯的支持。高斯在回信中，虽然赞扬了他有头等的天才，但是对小波约伊提出的新几何学并没有给予热情支持。小波约伊对高斯的回信非常失望，对他深入研究的热情如同泼了一桶冷水。
1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了这种新几何学的详尽内容。当小波约伊知道有人又提出了这种新几何学时，他对于自己的发现没有得到任何人的同情和理解十分恼怒，继而变得十分消沉。从此，他抛弃了数学的研究，一个数学天才被埋没了。
模糊数学的发现
现实生活中，存在着许多不能用“非此即彼”来简单判断的事情，比如如何判断一个人是不是老年人，怎样的天气算是好天气，等等。这种现象称为模糊现象。
1965年，美国控制论专家扎德创立了处理模糊现象的数学理论体系——模糊数学。模糊数学是通过引进模糊集合来研究模糊现象的。通常，集合是指具有某个性质的对象的全体。任何一个被研究的对象要么具有这个性质，要么不具有，即要么是集合中的元素，要么不是，不能似是而非。模糊集合打破了这一观念，对于模糊集合中的每一元素，都有一个反映该元素属于这个集合程度的量——隶属度，从而对亦此亦彼的中介性质给出了具体描述。模糊数学在自动控制、图像、识别、信息处理、医学诊断等方面有着广泛的应用。
“代数学”的由来
“代数学”一词，来自拉丁文，但是它又是从阿拉伯文变来的，其中还有一段曲折的历史：
7世纪初，穆罕默德创立伊斯兰教，并迅速传播开去，他的继承者统一了阿拉伯，又不断向外扩张，建立了横跨欧、亚、非三洲的大帝国，我国史书上称为“大食国”。
大食国善于吸取被征服国家的文化，把希腊、波斯和印度的书籍译成阿拉伯文，设立许多学校、图书馆和观象台。在这个时期出现了许多数学家，最著名的是9世纪的阿尔·花拉子模。这个名字的原意是“花拉子模人摩西之子穆罕墨德”，简称阿尔·花拉子模。
阿尔·花拉子模约生活于公元780-850年的人。公元820年左右，他写了一本《代数学》。到公元1140年左右，罗伯特把它译成拉丁文。书名是《‘ilm aljabr ma’l muquabulah》，其中aljabr是“还原”或“移项”的意思。ma‘l muquabulah是“对消”，即将两端相同的项消去或合并同类项。全名是“还原与对消的科学”，也可以译为“方程的科学”。后来第二个字渐渐被人遗忘，而aljabr这个字变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。
“代数学”这个名称，在我国是1859年正式使用的。这一年，我国清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作翻译英国数学家棣么甘所著的《Elements of Alegbra》，正式定名为《代数学》。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓代数，就是用符号来代表的一种方法。
阿尔·花拉子模的《代数学》讨论了方程的解法，并第一次给出了二次方程的一般解法。书中承认二次方程有两个根，还允许无理根的存在。阿尔·花拉子模把未知数叫做“根”，是树根、基础的意思，后来译成拉丁文radix，这个词有双重意义，它可以指一个方程的解，又可以指一个数的方根，一直沿用到现在。
阿尔·花拉子模的《代数学》有一个重大的缺点，就是完全没有代数符号，一切算法都用语言来叙述。比如“x2+10x=39”要说成“一个平方数及其根的十倍等于三十九”。如果把用符号和字母来代替文字说成是代数学的基本特征的话，阿尔·花拉子模的《代数学》恐怕名不符实。
负数的出现
早在两千多年以前，我国就了解了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。那时候还没有纸，计算时使一些小竹棍摆出各种数字。这些小竹棍叫做“算筹”。
人们在生活中经常遇到各种具有相反意义的量。比如在记账时会有余有亏；在计算粮仓存米数时，有进粮食、出粮食。为了方便，就考虑用具有相反意义的数——正负数来记它们。把余钱记为正，亏钱记为负；进粮食记为正，出粮食记为负等等。
我国三国时期魏国学者刘徽，在建立正负数方面有重大贡献。
刘徽首先给出了正负数的定义。他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，以正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”意思是说，用红色的棍摆出的数表示正数，黑色的棍摆出的数表示负数。也可以用斜摆的棍表示负数，用正摆的棍表示正数。
刘徽第一次给出绝对值的概念，他说：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”意思是说，负数的绝对值不一定小，正数的绝对值不一定大。
我国两千年前的数学著作《九章算术》中，记载了正负数加减法的运算法则，原话是：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无人负之，负无人正之；其异名相除，同名相益，正无人正之，负无人负之。”
这里“名”就是号，“除”就是减，“相益”、“相除”就是两数绝对值相加、相减，“无”就是零。
用现代语言解释，就是：“正负数加减的法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减；异符号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异符号两数相加，等于其绝对值相减；同符号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数得正数，零加负数得负数。”
这一段关于正负数加减法的叙述，是完全正确的。负数的引入是我国古代数学家杰出的创造之一。
用不同颜色的数来表示正负数的习惯一直保留到现在。现代一般用红色数表示亏钱，表示负数，报纸上有时登载某某国家经济上出现“赤字”，表明这个国家支出大于收入，财政上亏了钱。
无理数的发现
无理数怎么和谋杀案扯到一起去了？这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起。
毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。
可是不久就出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？
根据勾股定理m2=12+12=2，m显然不是整数，因为12=1，22=4，而m2=2，所以m一定比1大，比2小。那么m一定是分数了。可是，毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也找不出这个分数。
边长为1的正方形，它的对角线m总该有个长度吧！如果m既不是整数，又不是分数，m究竟是个什么数呢？难道毕达哥拉斯错了，世界上除了整数和分数以外还有别的数？这个问题引起了毕达哥拉斯极大的苦恼。
毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯，他对正方形对角线问题也很感兴趣，花费了很多时间去钻研这个问题。
毕达哥拉斯研究的是正方形的对角线和边长的比，而希伯斯却研究的是正五边形的对角线和边长的比。希伯斯发现当正五边形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数。希伯斯断言：正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。
希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。为了维护毕达哥拉斯的威信，他们下令严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋。
真理是封锁不住的。尽管毕达哥拉斯学派教规森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！
这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按照教规，要活埋希伯斯，希伯斯听到风声逃跑了。
希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯：残忍地将希伯斯扔进地中海。无理数的发现人被谋杀了！
希伯斯虽然被害死了，但是无理数并没有随之而消灭。从希伯斯发现中，人们知道了除去整数和分数以外，还存在着一种新数，2就是这样的一个新数。给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”；而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。
有理数和无理数有什么区别呢？
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=40，0，45=8，13=0.333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.4142……根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数却不能写成两个整数之比。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太理解罢了，利用有理数和无理数的主要区别，可以证明2是无理数，使用的方法是反证法。
证明2是无理数。
证明：假设2不是无理数，而是有理数。
既然2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
2=pq