如果有一堆钢管堆放在地上，第一层是8根，底层是20根，每层仍是依次减少一根，要求这堆钢管总数是多少根，也可以用这个公式来计算：
总根数=（底层根数+顶层根数）×层数2=（20+8）×132=182（根），这堆钢管总数是182根。
“巧算圆木堆垛”的方法还可以推广到其他圆柱形物体的计算上去，如铅笔厂计算铅笔的支数、水泥管厂计算水泥管数等。除此以外，你能不能用这种巧算的方法去计算：101+102+103……+198+199+200的和呢？把101看作顶层的数，200看作底层的数，100个数是层数，列式为：
（101+200）×1002=15050
其实，这道题还可以这样算：150.5×100=15050，你猜猜，这又是怎么想的呢？
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由36个小方格组成的正方形，如图所示，放着4个黑子和4个白子。现在要把它分割成形状大小都相同的4块，并使每一块里都有一个黑子和一个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）图（A）但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题要求4块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他3块都要做同样的割开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的1／3，则黑子就会连成一片；如果去掉中间的1／3，又会有两个白子连在一起。因此只可去掉靠边上的1／3，如图（C）。
图（B）图（C）现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将4条短的分割线延长到边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的6条分割线都不能再延长，只能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。
节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直径是小蜂窝煤直径的2倍，3个大蜂窝煤垒起的高度与4个小蜂窝煤垒起的高度相等。
假如砌的炉灶采用3块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为R，高度为b，小蜂窝煤半径为r，高度为a，则：
R=2r，3b=4a
大蜂窝煤的体积为πR2Ob，小蜂窝煤的体积为πr2Oa。
∴πR2Ob=π（2r）*34Oa
图D（D）图（E）=163Oπr2Oa
即3πR2Ob=16πr2Oa
由此可知，3个大蜂窝煤的体积等于16个小蜂窝煤的体积，3∶16也是它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所以要砌放3块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放16块小蜂窝煤的炉灶，如同图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于16块小蜂窝煤，燃烧表面积之和为：
SA=4×4×（πr2+2πra）
=16πr2+32πra
3块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB=3×（πR2+2πROb）
=3πR2+6πRb
∵R=2r，b=34a
∴SB=3π（2r）2+6π（2r）43a
=12πr2+16πr2a
∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积适中，烧得慢，省煤。
青蛙的对称跳
1985年，第三届五四青年智力竞赛中有这样一道题：
地面上有A、B、C 3点，一只青蛙位于地面上距离C点为0.27米的P点，青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P1，我们把这个动作说成是青蛙从P点关于A点作“对称跳”；第二步从P1出发对B点做对称跳到P2；第三步从P2点出发对C点做对称跳到达P3；第四步从P3再对A做对称跳到达P4，……，按这种方式一直跳下去。若青蛙第1985步对称跳之后到达P1985，问此点与出发点P的距离为多少厘米？
要在短时间内把1985步对称跳都做出来是困难的，这里面一定隐含着某种规律。
设想我们在地面上建立了一个直角坐标系，使出发点P正好是坐标原点，并设A（a1，a2）B（b1，b2），C（c1，c2）。
根据对称跳的定义，P和P1关于A点对称。由于P（0，0），则点P1的坐标为（2a1，2b1）。设P2（x2，y2），由于B是P1与P2的中点，则x2=2b1-2a1，y2=2b2-2a2。实际上，我们只须关心点的第一个坐标。
设Pi（xi，yi），i=1，2，3，4，5，6，我们又有x3=2c1-x2=2（c1-b1+a1），x4=2a1-x3=2（b1-c1），x5=2b1-x4=2c1，x6=2c1-x5=0。
类似地可知y6=0，这表明P6=P，也就是说，经过关于A，B，C的6次对称跳之后，青蛙又回后到了原出发点，这又可以说成：这样的对称以6为周期。由于1985=6×330+5，所以经过1985步对称跳，实际上相当于只做了5次对称跳，或者说只差一步就跳回到原点，它与P是关于点C对称的两点，因此。
P1985与P的距离=P5与P的距离
=2×（P与C的距离）=2×0.27米
=0.54米=54厘米。
影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为180°。”说完没有人理它，它又说：“△ABC若是直角三角形，那么Rt∠C=∠A+∠B。”这时影子部队答了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC若满足下列条件：
sinC=sinA+sinBcosA+cosB
则△ABC一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明；先设△ABC为任意三角形，有A+B+C=180°∴右式=2sinA+B2ocosA-B22cosA+B2ocosA-B2=sin180°-C2cos180°-C2=cosC2sinC2左式：=2sinC2ocosC2∴2sinC2ocosC2=cosC2sinC2∵cosC2≠0∴2sin2C2=1sinC2=22∴C2=45°即C=90°所以△ABC为直角三角形。
巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有5米，却遇上修理房屋。巷内架起了两个梯子，一个梯子长8米，另一个梯子长7米。架起来后，行人走到那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍没有？
解答：设巷宽DB=5米，两个梯子AB=8米，CD=7米。
令EF=x，
FB=x
∵EFBC=DFDB，
BC=CD2-DB2，
DF=DB-y
∴x72-52=5-y5
∴同理：
EFAD=FBDB
AD=AB2-DB2
∴x82-52=y5
由①、②式，求得：
5-y5*72-52=y582-52
106-26y=39y
y=10626+39=245122=2（米）
又：
x82-52=y5
x=395y
x=6.255×2=2.5（米）
由此可见，两梯子交叉点离地面约有2.5米高，因此并不影响行人通过。
截去多少
有三角形、平行四边形和1/4的圆形（或称90°的扇形），它们高度相等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？
解答：三角形截下部分是整体的1/4，因为小三角形的边和高都是原来的1/2，其面积是原来的（1/2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即1/2。
半弓形的面积计算如下：
扇形ABC的面积=16πR2
三解形DBC的面积=12×R2×32R=38R2
半弓形ADC的面积=扇形ABC的面积-三角形BDC的面积=πR26-38R2扇形ABE的面积=14πR2半弓形的面积90°扇形的面积=πR26-38R2πR24=23-32π=0382园丁的难题公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设AC是符合愿望的水管，那么
CB=BA
连接OB、OC，并将CO延长与圆周交D，连接AD。
∵CB=BA，OC=OD=r
∴OB∥DA
△COB~△CDA
OBDA=COCD=r2r
DA=2OB=2r
因此，只需以A点为圆心，2r为半径画弧交花圃圆周于D。连接D·并交圆周于C，连接AC即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有惟一解的情况，那是A点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于3r。当A点与圆心连线大于3r时，本题无解。
正方形的维纳斯
据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形ABCD，现在作一个半圆，使它的直径正好在正方形一边CD的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点A和B，此时直径为MN。那么C点把DN黄金分割，D点把MC黄金分割。
因为MN为半圆的直径，所以
BC2=MC+CN①
∵ABCD为正方形
∴BC=DC
DC2=MC+CN②
由于图形的对称性，所以
MD=CN
MC=DC+MD=DC+CN③
由②式和③式，得
DC2=（DC+CN）*CN
∴CNDC=DCDN
因此C为DN的黄金分割点，同样可以证明D为MC的黄金分割点。
生活中的分数
如果你到银行存款，就会碰到利率。
银行的利率有月利率和年利率，月利率是分母为1000的分数，年利率是分母为100的分数。因为一年有12个月，所以年利率刚好是月利率的12倍。
例如，活期储蓄的月利率为2.625，即2.6251000，年利率为3.15，即3.15100=2.6251000×12。
利率分成许多不同的档次，它的高低与存期的长短有关，活期储蓄的利率最低。定期储蓄中，存期越长，利率越高。
按现在银行的规定，定期储蓄如果提前支取，利率只能按活期计算。如果到期不取，超期部分也只能按活期计算。因此定期储蓄如果到期，应及时到银行办转存手续。
如何储蓄才能得到更多的利息呢？
存期短的利率较低，但到期后转存，利息也并入了本金，这样一来利可生利，有时不一定比存期长的收益少。
例如，1995年6月，银行的年利率规定1年期是10.98，二年期是11.70，三年期是12.24。假如当时你有10000元人民币，三年之内都不需动用，又假定三年内银行的利率保持不变，那么如何储蓄最划算呢？
（1）全部存一年期，每年到期转存，则三年后本息之和为10000×（1+1098％）3=13668.92元；（2）存三年期，三年后本息之和为10000×（1+3×12.24％）3=13672元；（3）先存两年期，两年后本息之和为10000×（1+2×11.70％）=12340元；再将它转存一年期，到期本息之和为12340×（1+10.98％）=13694.93元；先存一年期后存两年期的结果与先存两年期后存一年期的结果完全一样。
这样看来，存一个两年期再存一个一年期的收益最大。不过，银行对三年期的储蓄有时实行保值，在物价波动上涨幅度较大的情况下，存三年期的储蓄更加保险。
在我们的实际生活中，还有一些概念如浓度、成数、折扣等都与分数有关。
在地图上我们往往可以看到有关比例尺的说明。例如有一张中国地图，它上面标的比例尺是1∶9000000，意思是说，这张地图上任意两地的距离是实际距离的九百万分之一。
如果地图上两地的距离是2厘米，那么这两地的实际距离就是2×900=1800万厘米，即为180公里。
a∶b叫比，a叫比的前项，b叫比的后项。有时需要用到连比的概念，它实际上是将几个比连写成一个式子。
例如，有一种黑色火药由硝酸钾、硫磺、木炭按15∶2∶3配制，现在要配制这种火药10千克，那么这三种原料各需要多少呢？
连比可以看成分数的比，即硝酸钾为15份，硫磺为2份，木炭为3份，总共是20份。
硝酸钾占总量的1520，需要10×1520=7.5千克，硫磺占总量的220，需要10×220=1千克。
木炭占总量的320，需要10×320=1.5千克。
在体育比赛中经常将双方成绩用比分表示，这时的比有它的特定意义，不能像数学中的比那样化简或运算。
例如，甲队和乙队进行排球比赛，甲队士气旺盛，势如破竹，在第一局比赛中以15∶0获胜。从数学角度看，比的后项为0是没有意义的，但这里比赛的结果却有明确的含义。