古希腊大数学家毕达哥拉斯
在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生，给后代留下了众多神奇的传说。
毕达哥拉斯生于萨摩斯（今希腊东部小岛），位于他林敦（今意大利南部）。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，曾到巴比伦和埃及去游学，因而接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可毕达哥拉斯思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密；并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。
毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。
几何学之父欧几里得
两三千年前，古埃及人生活在尼罗河两岸，生产力很发达，大片大片的土地被开发。但是，人类无法与大自然抗争，当时的人们对洪水束手无策。每年，当夏秋季节尼罗河泛滥时期，河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道，好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时，就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量，准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地，埃及人积累了不少计算面积的公式。如：
矩形：A=ab（其中A是面积，a是长，b是宽。）三角形：A=ah/2（其中a是边长，h是高。）另外，还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式（8d/9）2，和如今的计算公式极为相近。
但是，当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。
到了公元前320年，有一位叫做欧德谟的学者，根据埃及人的经验，写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年，古希腊出了一位叫欧几里得的人，他根据前人的经验，经过自己的计算推理，写出了一本共13篇的《原本》（又称《几何原本》）。这是人类第一次出现的“几何”概念。
欧几里得在《原本》这本书里，首先给出的是定义和公理。比如，他的点、线、面的概念：
点是只有位置没有大小的；
线是只有长度没有宽度的；
面是只有长度和宽度的；
平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线；……这些定义和现今的几何定义极为相似。
欧几里得还按照逻辑原理，推论出十分严谨美妙的五条公理（又称“公设”）。其中有：
从一点到另一任意点作直线是可能的；
所有的直角都相等；
a=b，b=c，则a=c；
若a=b，则a+c=b+c；
《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线，圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中，有一个命题是在一个圆内作正15边形。
据说，当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°，即是圆周的1／15。于是，欧几里得运用自己的智慧，作出了正15边形，这在当时是一个难度十分大的命题。
《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的，以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说：一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为科学家的。
从《原本》的出现到现在，这部书出版过一千次以上，几乎世界上所有的杰出数学家，都是读着《原本》成长起来的。两千多年来，《原本》就像一尊坚固的宝塔，其坚固程度没有人能撼动它。因此，后人，尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书，而欧几里得的名字，也同《原本》一道流传千古。
传说托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外还有没有学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为流传千古的名言。另一则故事说，一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得些什么。欧几里得说：“你想在学习获取实利吗？那么就拿去这3个银币吧。”欧几里得这种勤勤恳恳不计名利追求真理的精神永远值得人们学习。
" 代数之父"韦达
16世纪末，法国在同西班牙的战争中，西班牙依仗着密码，在法国境内秘密地自由通讯，交通情报，结果使法军连连败退。法国国王请来当时很有名望的数学大师韦达进行帮助，韦达借助数学知识，成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，从而使法国只用两年时间就打败了西班牙，韦达在这次战争中立了大功。但是，西班牙国王菲力普二世向教皇控告说，法国人在对付西班牙时采用了魔术。于是，西班牙宗教裁判以韦达背叛上帝的罪名进行缺席判决，要将韦达处以焚烧的极刑。当然，宗教的野蛮刑法未能实现，韦达于1603年12月13日在巴黎逝世，终年63岁。韦达死后，人们誉他为“代数之父”。
韦达于1540年生在法国的丰特内，本名叫佛兰西斯·韦埃特。韦达是他的拉丁名字。他的专业是学律师的，曾任过布列塔尼议会议员、那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问官。他对天文学、数学有着浓厚的兴趣，经常利用业余时间研究数学。1584年到1589年，由于他在政治上处于反对派地位，被免去了官职。从此，他便专心致力于数学的研究。
在从政期间，韦达研究丢番图、塔尔塔利亚、卡尔丹诺、邦别利、斯提文等人的著作。他从这些名家，特别是从丢番图那里，获得了使用字母的想法。
在韦达之前的一些大学者，包括欧几里得、亚里士多德在内，虽曾用字母代替过特定的数，但他们的用法不是经常的、系统的。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母代替数进行数学运算的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般系数。通常，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他的做法是划时代的，从而奠定了代数学的基础，对代数的国际通用语言的形成起到了极为重要的作用。
1591年，韦达出版了他的代数学专著《分析方法入门》，这是历史上第一部符号代数学。它明确了“类的算术”和“数的算术”的区别，即代数与算术的分界线。
据载，韦达还以他精湛的数学知识，为国家赢得了荣誉。
当时，比利时有一位数学家，名叫罗梅纽斯，深受国王推崇，国民也深感自豪和骄傲。一次，比利时的大使向法国国王亨利四世夸口道：“你们法国还没有一个数学家能解开我国数学家罗梅纽斯的一个关于45次方程的求根问题。”原来，这道45次方程是罗梅纽斯于1573年在他的《数学思想》一书提出来的。
面对比利时的挑战，亨利四世决定在国内挑选数学家来解开此题，以长国威。谁知找了不少数学教授都找不到答案，国王心里十分烦闷，如同丧权辱国一般。
一天，国王将此题给韦达看，韦达说：“一个相当简单的问题，我马上就能给出正确答案。”因为韦达看出，这个方程是依赖于sin45θ与sinθ之间的关系，所以几分钟内就求出了两个根。国王见了答案，高兴地说道：“韦达是我国乃至全世界最伟大的数学家。”接着便赏给韦达500法郎。
韦达生前写出不少著作，但多数没有出版发行。有一部《论方程的整理与修改》，是在他去世12年后才出版的。在书中，韦达把5次以内的多项式系数表示成其根的对称函数。他还提出了4个定理，清楚地说明了方程的根与其各项系数之间的关系——即韦达定理。此定理至今仍在使用。他还为一元三次方程、四次方提供了可靠的解法，为后来利用高等函数求解高次代数方程开辟了新的道路。
另外，韦达利用欧几里得的《几何原本》第一个提出了无穷等比级数的求和公式，发现了正切定律、正弦差公式、纯角球面三角形的余弦定理等。韦达利用代数法分析几何问题的思想，正是后来的数学家笛卡尔解析几何思想的出发点。笛卡尔说他是继承韦达的事业。
直到1646年，韦达死后的40多年之后，他的全部著作才由荷兰数学家范·施库腾等人整理成书，名为《韦达全集》。
解析几何之父笛卡儿
笛卡儿是法国人，出生于一个贵族家庭，由于孱弱多病，养成了在床上读书的习惯，这使得他有更多的时间独自静静地思考各种关于自然、科学与人的问题。
1617年，荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生，他就是伟大的数学家笛卡儿。
一天，部队开到布雷达城，无所事事的笛卡儿漫步在大街上，忽然看见一群人围在一起议论纷纷，原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说，谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡儿出于好奇心抄下题目，回到军营，专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研，两天后，他终于求得了答案，由此使他数学天才初露锋芒。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡儿的才华，劝他说：“你有深厚的数学基础，才思敏捷，很适合数学研究。离开军队吧，我相信你将来会成功的。”
笛卡儿没有离开军队，但仍然迷恋数学，尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题，还有一个很古老的传说：
大约是2300多年前，古希腊的第罗斯岛上，一场可怕的瘟疫正在蔓延，人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求：“万能的神啊，请赐予我们平安吧！”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说：“我忠实的信徒们，神在保佑着你们，只要你们把上供的正方体祭坛，在不改变原来形状的情况下，把它的体积增大到原来的两倍，神就会高兴，就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛，他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说：“这哪里是原来的两倍，这是原来的八倍了。神不高兴啊！”
人们听后赶忙拆了重建，他们把体积改成了原来的两倍，可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道：“该死的信徒们，你们怎么把祭坛的形状改变了呢，这不是戏弄神吗？当心还有更大的瘟疫！”
惊慌失措的人们急忙去找著名的学者柏拉图，把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画，也同样找不到正确的办法，于是，立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来，希腊人又碰到了把一个已知角分成三等份和化圆为方问题（即求一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积）。
从此，立方倍积、三等份角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家，不少人为此呕心沥血，穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。
笛卡儿认真总结前人的大量经验教训后猜想，古希腊三大几何难题，采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢？应该另找一条道路才是。
1621年，笛卡儿退出军界，与数学家迈多治等朋友来到巴黎，潜心研究数学问题。1628年，他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰，进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。
他潜心从事哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
一天，疲惫不堪的笛卡儿躺在床上，望着天花板思考着数学问题。突然，他眼前一亮，原来，天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题，终于找到了答案。他兴奋地爬了起来，迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律，如果在平面上画出两条交叉的直线，假定这两条直线互成直角，那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置，立起点的坐标系。
这个发现的基本概念简单到近乎一目了然，伟大发现。它就是建立了平面上点的作为坐标的数（x、y）之间一一对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的一一对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此，笛卡儿还创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。
解析几何的诞生，改变了从古希腊以来，延续两千年的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学的巨大发展。虽然，笛卡儿在有生之年没有解开古希腊三大几何问题，但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。
解析几何的重大贡献，还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展，天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如，要确定船只在海上位置，就要确定经纬度；要改善枪炮的性能，就要精确地掌握抛射体的运行规律。所有这些，涉及到的已不是常量而是变量。