由于自然数有了“形状”，验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下，很快就会发现：它们都能摆成正三角形，都是三角形数，而且正好就是第五个和第六个三角形数。
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，很快就发现了自然数的一个规律：连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1+2+…+n的和也是一个三角形数，而且正好就是第n个三角形数。
毕达哥拉斯还发现，第n个正方形数等于n2，第n个五边形数等于n（3n-1）/2，第n个六边形数等于2n（n-1）……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数。
不过，毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数，需要一个数一个数地相加，才能算出一个新的三角形数，毕达哥拉斯认为这太麻烦了，于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律，他又发现，1+2+…+n=12×n×（n+1）这是一个重要的数学公式，有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。例如，要计算一堆电线杆数目，用不着一一去数，只要知道它有多少层就行了。如果它有7层，只要用7代替公式中的n，就能算出这堆电线杆的数目。
1+2+3+4+5+6+7
=12×7×（7+1）=28（根）
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，发现了许多有趣的数学定理。而且，这些定理都能以纯几何的方法来证明。
例如，在一些正方形数里，左上角第一个框内的数是1，它是1的平方；第二框内由1+3组成，共有4个小石子，它是2的平方；第三个框内由1+3+5组成，共有9个小石子，它是3的平方。……由此不难看出，只要在正方形数上作些记号，就能令人信服地说明一个数学定理：“从1开始，任何一个相继的奇数之和是完全平方。”即：
1+3+5+…+（2n-1）=n2
破碎数
在拉丁文里，分数一词源于frangere，是打破、断裂的意思，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。
在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。
在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
1/4和1/28怎么能够表示2/7呢？原来，古埃及是人只使用单分子分数；也就是说，他们只使用分子为1的那些分数，遇到其他的分数，都得拆成单分子分数的和。1/4和1/28都是单分子分数，它们的和正好是2/7，于是就用14+128来表示2/7。那时还没有加号，相加的意思要由上下文显示出来，看上去就像把1/4和1/28摆在一起表示了分数2/7。
由于有了这种奇特的规定，古埃及的分数运算显得特别繁琐。例如，要计算5/7与5/21的和，首先得把这两个分数都拆成单分子分数：
57+521=（12+17+114）+（17+114+142）
然后再把分母相同的分数加起来：
12+27+214+1〖〗42
由于算式中出现了一般分数，接下来又得把它们拆成单分子分数：
12+14+17+1〖〗28+142
这样一道简单的分数加法题，古埃及人算起来都这么费事，如果遇上复杂的分数运算，他们算起来又该是何等的吃力。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在计算3〖〗5+78+910+1220时，还用分母的乘积8000作为公分母！
而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。
我国现在尚能见到最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。
稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，问约之为几何？”书中介绍的方法是：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连续减去7，到第5次时得7，这时被减数与减数相等，7就是最大的公约数。用7去约分子、分母，那就得到了49／91的最简分数7／13。不难看出，现在常用的辗转相除法，正是由这种古老的方法演变而来。
公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时，又补充了一条法则：分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。而欧洲直到1489年，才由维特曼提出相似的法则，已比刘徽晚了1200多年！
苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”
“天外来客”根数
我们在前面讲述过毕达哥拉斯的故事。在西方数学史上他还以发现毕达哥拉斯定理而闻名。
毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。相传毕达哥拉斯发现这个定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆贺了许多天。说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容。
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”。他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天；毕达哥拉斯的一个学生，在世界上找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西。
这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，想知道对角线的长度是多少。
从图上看得很清楚，对角线与正方形的两条边组成了一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出对角线的长度等于2。可是，2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了。根据老师的看法，2应该是世界上根本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的“天外来客”。
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言。
原来，毕达哥拉斯学派是一个非常著名的科学会社，也是一个非常神秘的宗教团体。每个加入学派的人都得宣誓，不将学派里发生的事情告诉给外人。谁要是违背了这个规矩，任他逃到天涯海角，也很难逃脱无情的惩罚。
希伯斯很不服气。他想，不承认2是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去。
毕达哥拉斯恼羞成怒，给希伯斯罗织了一个“叛逆”的罪名，决定严加“惩罚”。希伯斯听到风声后连夜逃走了，他东躲西藏，最后逃上了一艘海船离开了希腊，没想到在茫茫大海上，还是遇到了毕达哥拉斯派来追他的人……真理是打不倒的。毕达哥拉斯能够“惩罚”希伯斯，却“惩罚”不了2。这位神秘的“天外来客”不但逍遥法外，反而引来更多的同伴：2、3、7……频繁地出现在各类数学问题中，使得古希腊数学家伤透了脑筋……直到最近几百年，数学家们才弄清楚，2确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，叫做无理数。
无理数也就是无限不循环的小数。2是人类最先认识的一个无理数。1971年10月，一位美国数学家在电子计算机上运算了475个小时，求出了2小数点后的100082位数，得到的仍然是个近似值。分析这样一个精确的近似值，人们仍然看不到2的小数部分有一丝循环的迹象。
毕达哥拉斯扮演了一个可悲的角色。他不知道，无理数概念的产生，是数学史上一个重大的发现，也是整个毕达哥拉斯学派的光荣。
康托尔的集合论
集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国彼得堡（现为俄罗斯圣·彼得堡）一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。
当时柏林大学正在形成一个数学与研究的中心。他在1867年的博士论文中已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法更为重要。的确，他的成绩并不总是在于解决问题，他对数学的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著名的连续统假设。
1869年，康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不仅就升为副教授，并在1879年升为教授。他一直到去世都在哈勒大学工作。他曾希望去柏林找一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克（1823～1891年）对于他的集合论，特别是他的“超穷数”的观点持根本否定的态度。因此，处处为难他，堵塞了他所有的道路。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日，他在哈勒大学附近的精神病院中去世。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合一对一的对应。但是，他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。不久之后，他承认“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同。”可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金祝贺康托尔取得成功。
集合论的发展道路是很不平坦的。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论。
分形几何的发现
生活在北方的同学对雪花是不陌生的，那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的同学不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。
先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很多领域得到了应用。
射影几何的发现
射影几何具有悠久的发展历史。古希腊时代的数学家欧几里得和阿波罗尼奥斯就都有一些属于射影几何的发现。到17世纪，法国数学家德扎格和帕斯卡始创射影几何。1639年，德扎格通过对透视的研究，建立了无穷远点和射影空间的概念。1640年，年仅17岁的帕斯卡发现了著名的帕斯卡定理，从此产生了一个优美的数学学科——射影几何，并在19世纪得到很大发展。射影几何主要包含3个基本定理，即帕斯卡定理、德扎格定理和帕普斯定理。
帕斯卡定理：设ABCDEF是⊙·的内接六边形。对边AB和DE交于点X，对边BC和EF交于点，对边CD和AF交于点Z，则X、Y和Z在一条直线上。
德扎格定理：设△ABC和△A′B′C′的对应顶点连线AA′、BB′和CC′交于一点，则三组对应边的交点在同一条直线上。