数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学也是基础性科学之一，很多学科都是在数学的基础上诞生的。人类文明发展从古至今，数学已经取得了很大的成就，从最初的自然数诞生到现在微积分、高等数学的诞生，都是人类智慧的印证和结晶。同时，数学就像一个包含了各种谜题的王国，到处充满了玄妙而有趣的问题和现象：从古代的“五家共井”到现代的歌德巴赫猜想、梅森素数……数学当中的难题总是吸引着无数的人来研究和解答。
歌德巴赫猜想
在所有的数学谜题当中，最广为人知而且最大的一个谜题就是“歌德巴赫”猜想。这个谜题自18世纪被提出以来，已经困扰了人们两个多世纪，现在仍旧没有得到彻底的证明。而这个猜想的每一步证明都会成为科学界的一大轰动事件，因而被称为数学王冠上的“宝石”，据说谁要是破解了歌德巴赫猜想，谁就是当今世界当之无愧的“数学之王”，因此不少人对这个谜题跃跃欲试，更有千万的数学家正在对它苦思冥想……大家都静心期待着这一数学大谜题被解开的一天。
数学家歌德巴赫
要懂得哥德巴赫猜想是怎么一回事？只需把早先在小学三年级里就学到过的数学再来温习一下。那些12345，个十百千万的数字，叫做正整数。那些可以被2整除的数，叫做偶数。剩下的那些数，叫做奇数。还有一种数，如2，3，5，7，11，13等等，只能被1和它本身而不能被别的整数整除的，叫做素数。除了1和它本身以外，还能被别的整数整除的，这种数如4，6，8，9，10，12等等就叫做合数。一个整数，如能被一个素数所整除，这个素数就叫做这个整数的素因子。如6，就有2和3两个素因子。如30，就有2，3和5三个素因子。哥德巴赫是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。1742年，哥德巴赫写信给欧拉时，提出了：每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如，6＝3＋3。又如，24＝11＋13等等。有人对一个一个的偶数都进行了这样的验算，一直验算到了三亿三千万之数，都表明这是对的。但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。整个18世纪没有人能证明它。整个19世纪也没有人能证明它。到了20世纪的20年代，问题才开始有了点儿进展。很早以前，人们就想证明，每一个大偶数是两个“素因子不太多的”数之和。他们想这样子来设置包围圈，想由此来逐步、逐步证明哥德巴赫这个命题——一个素数加一个素数（1＋1）是正确的。就像许多著名的数学未解问题，对哥德巴赫猜想有不少宣称的证明，但都未为数学界所接受。因为哥德巴赫猜想容易为行外人理解，这一直是伪数学家一个很普遍的目标。他们试图证明它，或有时试图反证它，使用的仅是高中数学。它和四色定理和费马最后定理遭遇相同，后两问题都易于叙述，但其证明则非一般地繁复。
我国数学家陈景润
像哥德巴赫猜想这类问题，不能排除以简单方法解决的可能，但以专业数学家对这类问题所花费的大量精力，第一个证明并不可能容易得出。从6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学家大会上把“哥德巴赫猜想”列为二十三个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9＋9”是怎么回事呢？所谓“9＋9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之乘积。”从这个“9＋9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1＋1”了。1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”，同年又和王元合作证明了“1＋4”。1965年，苏联数学家证明了“1＋3”。1966年，中国数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的乘积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。有很多非专业数学爱好者试图证明这个猜想，但是这些证明往往被看作民间“猜想”爱好者不自量力的举动。专业数学研究者认为证明这一猜想需要深刻的数论理论知识，然而几乎所有的民间数学爱好者的“证明”使用的数学工具往往仅仅是初等数学或者微积分。如今，歌德巴赫猜想仍然是众多科学家正在寻找方法证明的“谜题”。
关于“5”的猜想
提到数字“5”我们通常可以联想到什么呢？五角星、五连环……仔细观察一下，我们会发现“5”在自然界和人类社会生活中到处可见，5是一个蕴含着自然界无限奥秘的数字，在数学上，“5”更是奇妙无穷。美国的一位“矩阵博士”就是围绕“5”而作了一系列的研究和猜想，引发人们的巨大兴趣。相信在未来会有更多的奥秘“5”在人类面前展开。虽然，没法具体说清数字“5”到底有什么奥秘，但是人们发现自然界的确有很多“5”存在，它被认为另一种和协、美好的象征。比如“五角星”。
五角星图案
“5”这个数在日常生活中到处可见，钞票面值有5元、5角、5分；秤杆上，表示5的地方刻有一颗星；在算盘上，一粒上珠代表5；正常情况下，人的每只手有5个手指，每只脚有5个足趾；不少的花，如梅花、桃花都有5个花瓣；海洋中的一种色彩斑斓的无脊椎动物海星，它的肢体有5个分叉，呈五角星状。“5”这个数无所不在。当然数学本身不能没有它。在数学上，有而且只有五种正多面体——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体与正二十面体。平面上的五个点唯一地确定一条圆锥曲线；5阶以下的有限群一定是可交换群；一般的二次、三次和四次代数方程都可以用根式求解，但一般的五次方程就无法用根式来求解。5还是一个素数，5和它前面的一个素数3相差2，这种差2的素数在数论中有个专门名词叫孪生素数。人们猜测孪生素数可能有无穷多，而3和5则是最小的一对孪生素数。美国有一位“矩阵博士”是专门研究和“5”有关的现象与猜想的。这位博士常带着女儿漂洋过海，闯荡江湖，在世界各地都有他们的足迹。博士对数论、抽象代数有许多精辟之见。虽然他说的话乍一听似乎荒诞不经，可拿事实去验证他所说的离奇现象与规律时，却又发现博士的“预言”都是正确的。“5”的猜想有一次，博士来到印度的加尔各答。他说古道今，大谈“无所不在的5”。博士指出，在印度的寺庙里，供奉着许多魔金刚，信仰这些金刚的教派之中心教义一共有五条，其中一条是所谓宇宙的永动轮回说，即认为宇宙经过五百亿年的不断膨胀后，又要经过五百亿年的不断收缩，直到变成一个黑洞，然后又开始下一轮的膨胀与收缩。如此周而复始，循环不已。降魔金刚手中，还拿着宇宙膨胀初期的“原始火球”呢？在这里，博士曾几次提到5这个数字。英国的向克斯曾把丌的小数值算到707位，以前这被认为是一项了不起的工作。自从近代电子计算机发明以后，他的工作简直不算一回事了。现在求π值的记录一再被打破，最新的记录是100万位，这是由法国人计算出来的。有意思的是，矩阵博士在这项计算以前，就作了大胆的预言，他说第100万位数必定是个5，结果真是如此！这究竟是用什么办法知道的呢？博士却秘而不宣。循环往复的周期现象，在科技史上曾起过重大作用，门捷列夫发现元素周期表，就是突出的一例。下面请读者来看一下与5有关的有趣现象。请任选两个非0的实数，如π与76，并准备一个袖珍电子计算器。假定计算器数字长八位，那么，π的八位数值是3.1415926。现在请把第上二数76加上1作为被除数，把第一个数作为除数做一下除法，即：（76+1）÷3.415926=24.509861我们把显示在计算器上的24.509861称为第三数，然后再重复上述过程，把第三数加上1，把第二数作为除数，这就得到了第四位数：0.335656，依次类推，可得到第五数、第六数……也许读者会认为，这些数字都没有规律可循，照这样下去，真是“味同嚼蜡”。然而，当算到第六数时，你将会大吃一惊，原来第六数是3.1415931，略去这一数字后面二位因计算时四舍五入造成差异的小数，它竟和第一数的π相等，π又回来了！如果你还不太相信，不妨再挑选一些整数，结果保证令人满意。我们可以得出结论，5是一个循环周期，第六数与第一数完全一样，第七数与第二数完全一样……这神奇的、无所不在的5引起了人们的极大兴趣，促使人们去探索和研究。
意义非凡的“0”
数字“0”是由印度人和古玛雅人最早使用的，它的诞生凝聚着人类许多的智慧和探索，也是人们认为最神奇的数字之一。“0”既不是小数也不是整数，既不是奇数，也不是偶数，既不能加、减、乘、除又不能进行各种运算……但是“0”可以和任何数字相组合，而在现实生活中的意义也是举足轻重的，也许就是因为这个原因，人们离不开它。在未来，相信还会有更多关于“0”的奥秘，等着我们去发现。