发现海王星
太阳系有九大行星。由里往外数，最外面的三颗，依次是天王星、海王星和冥王星。这三颗行星，因为离地球越来越远，不容易看到，所以一个比一个发现晚。
1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。在研究天王星运行轨道时，发现实际观察的轨道，与根据力学原理，用微积分等数学工具计算出来的轨道不相符合。这是为什么呢？当时就有人预言：在天王星的外面，可能还存在着一颗尚未发现的新行星。可是，在无边无际的天空，到哪儿去找这颗新行星呢？
64年过去了。到了1845年，英国剑桥大学数学系学生亚当斯，根据力学原理，利用微积分等数学工具，进行了一系列困难的计算，算出了这颗新行星的轨道。这年10月21日，他把计算的结果，寄给了英国格林威治天文台台长艾利，可惜没有引起重视，也没有人用望远镜去寻找这颗新行星。
比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年科学家勒威耶，用微积分等数学工具，计算了由几十个方程组成的方程组，算出了这颗新行星的轨道。1846年9月18日，勒威耶写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的伽勒。他在信中写道：“请你把你们的天文镜指向黄经326°外的宝瓶座内的黄道的一点上，你就将在离此点的1°左右的区域内，发现一个圆面显明的新行星。”伽勒于1846年9月23日夜间，就在离所指点相差52′的地方，发现了这颗新行星。人们给它取名海王星。
这颗新行星的发现，完全是根据力学原理，用微积分等数学工具算出来的。因此，人们称海王星为一颗笔尖上的行星。
1915年，美国天文学家洛韦耳，用同样方法算出了太阳系中最远的一颗行星——冥王星的存在。1930年，美国的汤波真的发现了这颗行星。
利用微积分进行计算，人们还解决了月亮会不会撞到地球上的问题。
当时天文观测的结果表明，月亮的轨道正在不断缩小。人们开始担心是不是有那么一天，月亮会和地球相撞呢？后来用微积分计算，证明了月亮轨道的缩小是周期性的，缩到一定程度后还要开始膨胀，根本用不着杞人忧天，担心月亮和地球相撞。
一门生命力强的学科，必须有坚实的理论基础。微积分的基础是极限理论。微积分创立于17世纪，可是极限理论的提出却相当晚，它是在19世纪，由法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。
在极限理论产生之前，人们对微积分的基础有着各种不同看法和争论。当时，虽然在科学研究中广泛使用微积分，可是对于什么是微积分的基础，却没有一个共同的认识。恩格斯说过：大多数人进行微分和积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的。
极限理论的产生，统一了人们的认识，推动了微积分的发展。
1960年，美国数学家鲁滨逊运用数理逻辑的科学方法，把微积分建立在一种新的数学理论之上。科学家为了区别以极限理论为基础的微积分，把在新基础上建立起来的微积分叫做“非标准分析”。
非标准分析问世20年来，引起了数学界的广泛注意，也产生了一些不同的看法。有的数学家认为，非标准分析比传统的微积分更严谨，更适用于进行理论上的探索。也有的数学家认为，非标准分析把传统微积分中丰富的思想砍掉了；个别人甚至把传统微积分比做一个美女，说非标准分析是一具“美女的骷髅”。
认识在争论中提高，科学在争论中发展。明天的微积分，一定会更加完善、充实和有用！
3.二十世纪数学的领航人
19世纪最后一年——1900年的夏天，在巴黎塞纳河畔举行的第二次国际数学家代表大会上，一位30多岁的年轻数学家在他所做的报告《数学问题》中，提出了23个数学问题，总结他那个时代的数学研究。在此后的数十年里，这23个问题几乎完全左右着数学发展的方向，对20世纪的数学发展产生了巨大的影响，为许许多多的数学家们带来欢乐，也带来苦恼。这个提出23个问题的人，便是德国数学家希尔伯特（1862～1943，1888年他以独创方式发展了不变量的数学，证明了不变系的基的有限性）。后来，这23个问题被称为“希尔伯特问题”。
希尔伯特于1862年1月23日生于德国的哥尼斯堡（现今为俄罗斯的加里宁格勒）。希尔伯特的母亲是一位对哲学和天文学极有兴趣的女性。希尔伯特从小便受到母亲的熏陶，这为他后来的成长产生了良好的作用。
希尔伯特幼年时记忆力很差，理解概念的反应速度也极慢，经常受到老师的批评。后来上中学时，他结识了犹太人闵可夫斯基家才华出众的三兄弟。希尔伯特希望自己能像闵可夫斯基兄弟那样，受到人们的尊重。他努力克服自身的弱点，深入体会数学中的概念，在闵可夫斯基兄弟的影响下，希尔伯特找到了他喜爱的科目——数学。
后来，他分别在哥尼斯堡大学、海德堡大学学习。数学名家富克斯的数学思想深深影响了希尔伯特，后来他又返回哥尼斯堡大学。不久，闵可夫斯基、希尔伯特和年龄稍大一些的赫维茨，成了哥尼斯堡数学圈子里著名的“三剑客”。他们几乎讨论了数学各个领域的问题，相互交换获得的研究成果，交流彼此间的想法和研究设想。
希尔伯特大学毕业以后，进行了一次成效显著的学习旅行，这次旅行使他弥补了因身居哥尼斯堡小城而造成的孤陋寡闻的缺憾。希尔伯特拜访了德国数学界的传奇人物克莱因。希尔伯特选听了克莱因的课，还参加了克莱因的一个讨论班。他深为克莱因所器重，克莱因推荐希尔伯特前往法国巴黎。在巴黎，他了解到国际数学界的研究状况，大大地开阔了眼界。
后来回到优美宁静的哥尼斯堡，希尔伯特沉浸在关于不变量理论的果尔丹问题里。这一问题，数学家们已经花费了很大的力气。但只经过半年的艰苦攻关，果尔丹问题居然被希尔伯特解决了。
1895年，应克莱因之邀，他来到数学家高斯的故乡哥廷根。来到哥廷根不足一年，希尔伯特和闵可夫斯基合作，完成了一篇关于数论研究方面的综合论文，成为数论领域中的经典作品。不久，又发表了《相对阿贝尔域理论》的论文，建立了探讨“类域”论所必需的方法和概念。这是希尔伯特独创性的显露。1898年～1899年，希尔伯特编著了囊括整个几何学领域的重要著作《几何基础》，获得科学界的称赞。
偏偏就在人们的赞叹声中，希尔伯特瞄准了著名的“狄里克莱原理”。直到19世纪末，数学家仍把对这个原理的探索看做死胡同，然而希尔伯特却妙手回春，“复活”了狄里克莱原理，在国际数学界震动一时。
20世纪来到了，希尔伯特的数学兴趣更广泛了，他几乎涉足了数学的全部领域。在闵可夫斯基和赫维茨的协助下，1920年夏，在第二次国际数学代表大会上，他提出了著名的“希尔伯特问题”。随着狄里克莱原理的解决，他为数学分析的精确性和逻辑无矛盾性奠定了重要基础。