为了对物质的平均密度进行检测，我们首先可以设想从已知的部分宇宙进入。然而，因为宇宙中分布的星体非常不规则，我们不能凭借自己的想象认定某一星体的平均物质密度等价于其他星体或星系，所以这个方法没有用。还要特别说明的在于，不管我们考察的空间有多大，我们都无法确定是否还有别的星体存在于这个空间之外。那么，对于平均密度的计算就更谈不上了。
我这里有另外一个办法解决这个问题，虽然也是困难多多，但其操作性却更强。我们要是将那些已经被经验所验证的广义相对论中的结论，和牛顿理论的结论进行对比，并对这些偏差进行研究，马上就会发现有一个偏差存在于引力物质的近旁。这个例子从水星身上就可以发现。可是，我们要是承认了宇宙空间的有限性，远离牛顿理论的第二个偏差也就出现了。我们用牛顿理论的语言对之进行这样的描述：表面上看来，能够产生引力场的除了有重物质，还有在整个空间中均匀分布的带负号的质量密度。可是，只有在极为广大的引力体系中，我们才能察觉后一种引力场，因为显而易见，这个虚设的质量密度非常之小。
我们要是已经获得了银河中星体的统计分布和质量的数据，那么我们就能运用牛顿定律，将引力场和这些星体所必须具有的平均速度计算出来。我们在这里对“必须具有”的强调不是没有原因的。因为银河系中的各个星体若能够互相吸引并保证银河系不至于坍塌，并能维持银河系的实际大小，就“必须具有”这个速度。要是能够测量出星体的实际速度，并且发现较之于我们计算出来的速度，这个速度更小一些，那么这样一个结论就出现了：牛顿定律所定的数额大于遥远距离之间的实际吸引力。这个偏差可以间接地证明宇宙的有限性，我们甚至还能够因此将宇宙空间的大小大概估计出来。
宇宙能否被我们想象为一个有限却没有边界的三维空间呢？
在一般情况下，我们不能如此设想。接下来，我们要证明出一个迥然不同的结论。对于有一点我需要强调一下，即在稍稍实践一番后，我们可以比较容易地用想象的图像对宇宙有限性理论进行说明。这些图像我们不久便能习惯。
我们首先要考察一下认识论的性质，因为我们无法直接描绘几何-物理理论本身，它们仅仅是一组概念。然而，这些概念能够联系起存在于我们头脑中的各种各样的或想象或实在的感觉经验。因此，为理论寻找系统排列的诸多能感觉的经验，就是理论形象化的实质。我们当下需要解决的问题在于，如何描述固体相互排列（接触）的性状，以使之对应到宇宙的有限性理论。对此问题我并无新的想法，可是，这个问题曾经有很多人对我问起，这说明现有的解释并未充分满足大家的好奇心。因此，我想在这里接着就这个问题讲一讲，要是我讲的某些部分是内行人觉得老生常谈的，还请谅解。
在说到空间的无限性的时候，我们实际上是在说什么呢？实际上，这仅仅是说明我们能够一个挨一个地任意在这个空间中摆放同样大小的物体，而这个空间永远不会被填满。从欧几里得几何来说，一个空间中如果有个立方盒，我们能在其上下、左右、前后堆放很多个大小相同的立方盒；可是，无限空间的构造并无边际。这也就是在说，不管我们添加的立方盒有多少个，都还可以再放。这就是所谓的空间无限性。也许这种描述更为贴切：刚体的排列规律若是跟欧几里得几何的规定相符合，那么，对于实际刚体来说空间具有无限性。
无限连续区是我们可以举出的另外一个例子。我们能够在一个平面上摆放许多张方卡片，每张卡片的每一个边都被其他的卡片连接。这种构造同样没有止境。这些卡片的排列规律只要跟欧几里得几何的平面图形的排列定律相符合，卡片就能够无限制地摆放。所以，就这些卡片而言平面是无限的。我们能够说，空间是三维的无限连续区，而平面就是二维的无限连续区。二维连续区的特殊状况——有限但无边界，也是一个此类的例子。用一些大小相同的纸质小圆片和一个大球，就可以对这种情况进行说明。我们将一个小纸片放在大球表面的任意一个地方，并在球的表面随意移动这张纸片，在此过程之中，就不可能碰到边界。所以，这个大球的表面就可以被我们看作是一个没有边界的连续区。显而易见，此连续区具有有限性。想象一下，要是将所有的纸片都互不交叠地贴到球的表面，最后就会贴满球面，而再多贴一张纸片都不行。所以，就纸片来说，这个球的表面具有有限性。
有一点需要说明，即球面这个二维连续区是非欧几里得的，这也就说：这些刚性图形的排列和欧几里得平面的定律并不相符。我们可以用下面的方法来证明这一点：用六张纸片围住一张纸，然后用同样的方式在外围围住这六张纸片，然后一直向外铺展。我们要是将此构造放到平面上，此构造就可以形成一个无限延伸的排列，在此排列中，除了那些最外围的纸片，所有的纸片都和六张纸片连接。可是，这样的构造要是放在球面上，一开始，因为纸片的半径要远远小于球的半径，还可以进行这种构造，并且球的半径和纸片半径的比率越大，这种构造的希望也就越大。然而要是持续进行这种构造，纸片按照上述方法不间断地排列下去就越来越不可能。如此一来，即便是那些无法从这个球面上离开，乃至无法将球面看作三维空间的人，只要他们重复一遍这个纸片实验，就能发现自己的二维“空间”是球面空间，而并非欧几里得空间。
根据相对论的最新研究成果，我们发现很可能三维空间类似于球面空间。若果真如此，三维空间里刚体的排列定律就应该遵循近似球面几何的规定，而与欧几里得几何的规定不相符合。当然，我们要考察的那部分空间需要足够大才能如此说。探索到了这一步，也许会有的读者感觉犹疑。也许他会愤怒地喊叫，认为人们不可能想象出这种东西；也许他会这样想：只是这么说说而已，这么去想可就不行了。对我而言，想象一个球面是很容易的。然而，对之进行三维类比的想象，我也觉得很是困难。我们必须要克服这种心理障碍。一个读者只要有耐心，做到这一点就并不困难。下面我们还要再看看二维球面几何，让大家能更好地理解这个问题。我们来看看这张图（图一），我们假设球面为K，球面上的一个圆纸片为L。我们用S来表示球面和平面E相接触的地方。为方便起见，这个平面我们用一个有边界的面进行表示。我们现在就要想象了：球面上和S径向相对的N点能够发光，纸片L因之在平面E上出现其投影L，。实际上，平面上会有球上的任何一点的投影。球面上的纸片L如果移动，相应的，平面E上的影L，同样会移动。在纸片L移动到S处的时候，其投影就几乎与它完全重叠。纸片要是从S处接着往上移动，影L，也就会自S向外移动，并且越来越大。在纸片L和发光点N相接近时，影L，就移到了无穷远的地方，并且无限大。
看了这张图后，我们来想一想——平面E上的纸片的影L，的排列规律是怎样的？很明显，它们跟球面上的纸片L的排列定律是一样的。平面上投影的几何完全一致于球面上纸片的几何。我们要是用刚性图形来定义这些投影，那么球面几何同样适用于平面E。有一点必须说明，即因为只有有限个数的纸片影可以在纸片上占到位置，所以平面能接受的纸片的投影是有限的。现在，也许有人对于将纸片的影归入刚性图形的做法表示质疑。事实上，若要对这一点进行验证，只要观察在平面E上一根尺子的移动情况就可以了，当影子越来越远离S的时候，影子就会越来越长。然而，如果这根尺子也和纸片的影L，一样可以在平面上伸缩，那又说明了什么呢？如此一来，人们就无法看到影子离开S时变长的情形，这种假设也就失去了意义。所以，关于纸片，我们能够获得的唯一客观判断就是：纸片和影之间的关系，完全等同于欧几里得几何意义上的球面上的刚性纸片的关系。
有一点我们必须要注意：要想让关于纸片影增大（在它们移动到无穷远处时）的陈述本身具有客观意义，我们的比较就只能局限在在平面E上运动的欧几里得刚体和纸片的影之间。而无论是认为S点在平面上还是在球面上，最终都不会影响影L，的排列定律。
将球面几何在平面上进行表示，对我们来说意义重大，因为如此一来，将它转化为三维模式对我们而言就很容易了。
想象一下，有一个点以及很多个小球L，存在于一个空间之中，并且这些小球之间能够彼此重合。然而，较之于欧几里得几何意义上的刚性球，这些小球有所不同：在S往无穷远处移动的时候，这些小球的半径从欧几里得几何的意义而言是在增长的。它的整个增长过程所遵循的规律，跟平面上那些纸片的影L，的半径增长规律完全一样。
当这些L，球的几何性状生动地出现在我们的脑海中之后，我们假定根本就没有欧几里得意义上的刚体存在于这个空间中，这里存在的只有L，球性状的形体。如此，一幅关于三维球面空间的图像，或者说关于三维球面几何的图像就能被我们清晰地想象出来。在这里，我们有必要用“刚性”球来称呼这些球。在这些小球从S离开的时候，它们大小的增长状况无法用量杆来量度，这一点就像纸片影在平面E上一样，这些球和后者有着相同的量度标准性。因为空间是均匀的，所以同样的球的排列会出现在每一点的附近。在有限的空间之中，只能存在一定数量的球，因为这些球会不断“增大”。
所以，在力图获得球面几何的心理图像时，我们的想象和思维实践完全能够借助欧几里得几何。我们的观念能从这些特殊的形象构图中获得极大的裨益，让这些观念更有活力和深度。我们同样能轻松地用类似的方法来解决所谓的椭面几何问题。最后，我想郑重地告诉大家：人类的形象思维在面对非欧几里得几何的时候，绝对不是没有一点用处和能力的。
牛顿力学及其对理论物理学的影响
牛顿逝世距今已经整整二百年。我认为我们有必要在这样的时刻对这位杰出的天才进行纪念。西方的思想、研究和实践的方向，都奠基于他的思想。他的成就和天才，震古烁今。他发明了一些关键性的方法，独具匠心地对当时的材料和经验进行了恰当的运用。他的杰出仅从此点而言就展露无遗。另外，他超凡的创造才能还体现在对数学和物理问题的证明上。凭借这些，他完全有资格获得我们真挚的尊重和敬仰。
然而，造就了牛顿的伟大的，不仅仅有他那卓绝的天赋，还因为他出现的时代恰恰处于人类理智的转折点之上。或许对他更为重要的，就是这个历史时期的特殊性。因为牛顿之前的人们无法对物理上的因果关系进行解释，他们缺乏一个物理体系以完整地表示出经验世界的任意特征。我们必须要认识到这一点。
古希腊伟大的唯物论者如此表示他们对于经验世界的认识：“一系列做规律性运动的原子是所有物质的本质和基础，脱离这些原子而单独存在的生物意志是存在的。”无疑，笛卡尔也曾按照他的方式重新探索过这个问题，然而，当时的他不可能给出一个满意的答案。在牛顿出现之前，人们并没有从实际结果上验证物理因果关系有完整的链条这一信念。
如果所有天体在某一时刻的运动状态是已知的，那么是否存在一条简单的规则，让我们能够将太阳系天体的运动状况完备地计算出来呢？牛顿当初的目标就是要解答这个问题。他所思考的这个问题，实际上就是此前科学家发现的行星运动经验定律。当年开普勒（Kepler）对第谷·布拉赫（TychoBrahe）的观测结果加以认真研究、仔细推算之后，得出了这个定律，因此还需对之加以详细解释。当然，这些定律确实完满地解答了行星绕太阳运动的相关问题。比如行星以椭圆形的轨道运行；轨道半径会在相等时间中扫过同样大的面积；公转周期与长轴之间的关系等等。然而，这三条规则没办法清楚解释物理上的因果关系问题。事实上，这三条规则之间的相互关系并未被揭示出来，它们在逻辑上相互独立。并且，第三条规则还不能被简单地应用到太阳系之外的星体上，其适用范围只限于太阳系的行星。比如，行星绕太阳公转的周期就和卫星绕行星旋转的周期没有关系。而且最重要的一点在于，在确定了这些天体在某一时刻的运动状态后，无法利用这些定律确定它们的后续状态，这些规律仅仅涉及到了整个天体的运动。这就好比，牛顿的目标需要用微分定律才可以解释，然而这些定律却仅仅是积分定律而已。换而言之，近代物理学家只有用微分定律才能够清楚地解释因果关系。牛顿用明晰的概念将微分定律表达了出来，这就是他的伟大成就之一。当时需要的除了这种概念，还有一种体系完整的数学形式。牛顿在微积分中找到了这种形式。至于这种数学方法是否也被莱布尼茨独立发现了，我们在此就不作考察了。总而言之，对牛顿来说，他只要想表达自己的思想，就必须要更加完善这种方法。
在对运动定律的认识上，一个意义重大的开端已经在伽利略那里出现了。惯性定律，以及物体在地球引力下的自由落体定律都被他揭示了出来。自由落体定律即为：自由下落的质点若是不受到外力作用，质点的运动将呈直线加速状态，其速度随时间而均匀增大。或许在现在看来，牛顿的运动定律只是从伽利略的运动定律那里迈了一小步。然而，我们要意识到，惯性定律和自由落体定律涉及的内容都是整个运动，牛顿的运动定律却并非如此，它给出了这个问题的答案：要是有外力作用到质点上，在那一刹那间，它运动状态的变化是如何的呢？直到利用微分定律解答出了这个问题，一个适用于一切运动形式的公式才被牛顿得出。牛顿从当时已经高度发展的静力学中得到了力的概念，这才联系起了加速度和力。可是，说来也让人觉得奇怪，竟然是一个虚构的定义支撑着这个新概念。需要有非同一般的抽象能力，并将质量这个重要概念创造出来，才能将现在的人们觉得非常普遍的微分定律从二次极限中得出。可是，当初的这么多艰辛我们现在确实很难理解了，因为类似于微商的概念我们现在早已耳熟能详。