这个问题最早是1852年英国人古斯里提出的。在考虑给地图上色的时候，人们总希望把不同的国家染上不同的颜色。这样容易辨认每个国家的位置和边界。但是人们又不可能用200多种颜色来表示目前全世界200个左右的国家和地区。从直观上，人们知道只要相邻的国家不用同一种颜色就可以，至于较远的国家颜色允许重复。这样就大大节约了颜色的种类。可是到底最少能省到几种颜色呢？有的说五种，有的说四种。经过许多人的实践，认为四种颜色可以应付了。比如，我们举一个现实的例子，把我们的视觉范围缩小到北非地区。如果选中利比亚作为开始，它用颜色a，那么它相邻的埃及、苏丹、乍得、尼日尔、阿尔及利亚和突尼斯，以及地中海，都不能再用颜色a，但是根据不相邻国家或地区允许颜色重复使用，最后，埃及、乍得、阿尔及利亚用颜色b，苏丹、尼日尔和地中海用颜色c，但是作为突尼斯却不得不用第四种颜色d。由此四种颜色也够用了。
许多例子也都表明四种颜色够用了，于是人们猜想：在一个平面或球面上的任何地图只需要四种颜色。
“猜想”并不能包容所有的情况，只要有一个例外，就可以推翻“猜想”。所以必须有严格的数学证明，“猜想”才能上升为“定理”。
1879年，肯普用“反证法”来证明。他先假设一幅地图至少要用五种颜色，然后证明这样是与假设矛盾的，从而证明了只需四种颜色。
他的证明必须是对于“正规地图”而言的，也就是说：任何一个国家都是单连通，不能分割为两个不相连的地区，像美国本土和它的阿拉斯加分割两处就不行；任何一个国家也不能包围另一个国家或地区，如意大利和梵蒂冈就是一个特例；另外，不能有三个以上的国家相交于同一点。埃及、以色列、约旦和沙特阿拉伯都相交于亚喀巴港口，那也认为是一种特殊情况。
肯普用图论的知识，虽然作了证明，但是由于遗漏了一个重要的步骤，而这个步骤的计算量又十分庞大，因而“四色问题”仍然没有得到最终的证明。
直到1976年6月，美国的阿贝尔和哈肯，他们沿着肯普的思路，利用了现代的电子计算机，编制了一个严密的计算程序，对2000个不同构形进行计算，整整花费1200多个小时，终于证明了“四色定理”。从此，一个猜了一个多世纪的谜终于解开了。由此也说明，随着电子计算机的发展，许多“数学难题”并不是“一锤定音”永远不能解的。
古老的“三所学校”的问题
说它古老，是因为在爷爷童年的时候就提出了这个问题，但似乎是没法解决的问题。
内容是这样的：有三个村庄，有三所学校，要从每一个村庄修三条路直接通向学校，使这9条路互不相交。我们可以试一试，只能画出8条路不交叉，第9条路是非交叉不可了。
当时是无法解决的，不像现在，城市中建起了立交桥，可以保证互不相交，这第9条路是可以实现的。
我们还可以用其他的办法来引申这个问题。假如三个村庄和三所学校是在一个环面上，那么这个问题是可以解的。实际上，将第8条路沿圆环的大周，第9条路从圆环的背面过来，于是就可以实现9条路互不交叉。
同样，我们还可以在一个特别的表面上做这个题目。这个特别的表面是这样做成的，用一张纸条围成一圈，在对接前将其中一端翻转180度，然后粘上。这个圈称作墨比鸟斯圈，它的特点是没有正反面，从A点作一条与边线平行的线，转一圈后能到达C，而再转一圈又回到A。现在我们在墨比鸟斯圈上设定三个村庄D、E、F，再设定三所学校为A、B、C，那么，A—D—C—F—A成一闭环，中间经历4条路线互不干扰；BE相连又一条路线；B和E、F相连，E和A、C相连，又是4条路线。于是9条路线互不干扰和交叉，符合原题的要求。
“三所学校”引出了那么多问题，与其说是解难题，不如说是“醉翁之意不在酒”，而是促进了数学的发展。
自然数的奥妙
从人类一开始从事劳动、与大自然搏斗，他们就懂得了在石壁上刻痕，用绳结来计数。以此来计算捕获到的猎物或一年收获的粮食。人类最早接触到的就是自然数。
随着生产的发展，需要对劳动进行组合，也遇到分配的问题。这样，人们对自然数又有了新的了解，把自然数分为奇数和偶数两大类。如果分配两个人抬一筐土。那么必须是偶数才行；如果除了部落首领一个负责指挥可以不干活以外，其他两人一组，那么总共人数必为奇数。实际上，偶数即是“2的倍数”的另一种说法。
既然有“2的倍数”之说，那么也就有“3的倍数”、“5的倍数”、“7的倍数”等等，以此类推。这样，自然数中除去可以用倍数表示的数以外。剩下的就是无法用另一个数的倍数来表示的数，确切地说，即它除了能被1和它本身整除以外，不能被任何其他数整除。这些数可以说是组成自然数最基本的要素。我们称之为“素数”。
素数的性质与奇数或偶数的性质完全不同。奇数如果由小到大排成一个数列。它的项数若为n，可以很容易计算出它的通项公式an和求和公式sn，如：
1，3，5，7，……an（n=1，2，……）
an=2n－1
Sn=n2
对于偶数排成的数列，也可以计算出它的通项公式an和求和公式Sn，如：
2，4，6，8，……an（n=1，2，……）
an=2n
S=n（n+1）
可是，如果把素数排成一个数列以后，如同：
2，3，5，7，11，13，17，……
我们就无法求出它的通项公式和求和公式。
照理说，素数除2以外，它寄生在奇数的数列之中，应该能从奇数的规律中得到启发，可是实际上要复杂得多。
埃拉托斯尼筛子有多大
由于素数没有规律，所以人们只好用笨办法去数，这种笨办法在公元前二世纪就开始采用了。当时的古希腊哲学家兼数学家埃拉托斯尼就是用的这种办法。
他把从1至100的一百个自然数排成10×10的方阵，然后根据素数的性质：它除去1和其本身不能被任何其他数整除，所以只要在表中相继除去2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数……等等。显然，这如同用2号筛子、3号筛子、5号筛子等等一次一次过筛，所有合数都给筛走了，剩下的当然是素数了。
由于这种办法，如同过“筛子”一样，所以历史上称之为“埃拉托斯尼筛法”。
这种办法能很迅速地筛去许多合数，如4、6、8、10四列数全部筛去，2、5两列从12、15开始也全部筛去。可以推断，假如这个表往下延伸，使总的自然数达1000，10000或更大，那么这儿列延伸下去也可全部筛去。由此说明，素数只是在1、3、7、9儿列中存在，如果把方形中11的倍数除去，再把圆圈部分的数除去，剩下的就是1-100之间的所有素数。
这种筛选法虽然说是个笨办法，但笨中有巧。比如，我们用5去筛的话，它的倍数应该有10、15、20、25、30……等等，但是由于10、15、20三个数已经被2和3的筛子筛去了，已不复存在，所以只需要从25开始过筛。这说明，用5去筛，只需从52开始进行。同样，用n去筛，只需从n2以后的数开始进行。这样就大大简化了工作量。
这个笨办法肯定能使我们找到所有的素数，但肯定又找不完所有的素数。因为人的生命是有限的，即使采用电子计算机，计算速度可以加快，但也是有限的。所以，埃拉托斯尼筛法虽然可行，但这个筛子该多大，实在是无法说清。
最大的素数
既然按照埃拉托斯尼的筛法可以把筛子作得无穷大，那也就是说明素数的个数是无穷无尽的。那么有没有可能随着素因子的越来越多，最后素数的密度越来越小，也就是素数在自然数中越来越稀少，最后出现一个最大的素数，成为空前绝后呢！
这个问题当然是个难题，但是这个难题已经证明了。占希腊的数学家欧几里得用了“反证法”证明了这个难题。他假设素数是有限的，而且存在一个最大的素数N，那么必然可以找到另外一个数M，这个M是用所有素数直到最大素数N之间的乘积再加上1，也就是表示为：
M=（2×3×5×7×…×N）+1
自然，M要比N大得多。然而M被2、3、5、7……直至N来除的话，都无法除尽，都会余1。所以M仍然是一个素数。由此证明N并不是最大素数，这就与假设所矛盾，从而证明了素数是无限的，最大的素数不存在。
与这种思路类似，我国至少从四世纪开始，已形成了“中国余数定理”，比如“大衍求一术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等等，它们发展了余数为1的情况，从而可以去解各种各样的不定方程。我们举一个简单的例子，如果一队士兵，排成3路纵队，最后一行余1人；如果排成5路纵队，最后一行还余1人；如果改为7路纵队，最后一行仍是余1人。那么，其计算为：
X=（3×5×7）+1=106人
总共士兵为106人，这是最小的一个解。假如最后一行余2人或多人，按照“中国余数定理”。也是能够算出来的。
爱因斯坦也举过一个例子。他说：在你面前有一条长长的阶梯。如果每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩下2阶；如果每步跨5阶，那么最后剩下4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩下5阶；如果每步跨7阶，正好走完。问阶梯至少有多少阶？
解答这个问题可以由2、3、5、6的最小公倍数30开始，对30、50、90、120分别减去1，满足前四个条件，即29、59、89、119分别被2、3、5、6除以后得到上述的余数。然后它又应被7整除，所以惟独119是正确答案。
从上述的变迁可以看出：最大的素数并不存在。但是在证明这个结论的过程中，使人们又获得了新的知识，对于求解不定方程感到茅塞顿开、迎刃而解了。
“1+2”等于什么
在小学算术中，1+2等于3，这是指同样的东西而言的。
在实际生活中，1+2很难说等于什么。一个馒头加两碗稀粥，等于一顿早餐；一个小孩加上他的父母两个大人，组成一个家庭；一个仆人加上两个主人，等于一出名剧；一个国家加上两种制度，又是一种政策。
不管怎么说，上述的解释还是可以理解的。使人不可理解的是在“数论”中，还要对“1+2”来证明，而且一代一代数学家前仆后继为的是去攻克这个堡垒。
原来，在“数论”中，“1+2”的含义已经完全变了。它是表示：一个充分大的偶数，可以表示为一个素数与另一个由不超过两个素数乘积之和。举两个例子来看：
22=7+3×5
76=37+13×3
其中22和76都是偶数，它们都可以由两部分组成，第一部分是一个素数，第二部分是两个素数的乘积。问题就是要用严密的数学方法来证明这个规律是在一切情况下都适合的。
为了证明：偶数=（1+2），难度是相当大的。在证明这个问题之前，实际上做了许许多多的准备工作。这些准备工作包括：
1920年挪威数学家布朗证明了：
偶数=（9+9）
也就是说，每一个充分大的偶数可表示为两部分之和，这两部分都是由不超过9个素因子的乘积。
随后，工作一步一步深入：
1924年拉德马哈尔证明了（7+7）；
1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）：
1938年布赫斯塔勃证明了（5+5）；
1940年布赫斯塔勃证明了（4+4）；
1950年维诺格拉多夫证明了（3+3）；
1958年王元证明了（2+3）；
1962年潘承洞证明了（1+5）：
1962年王元和潘承洞证明了（1+4）：
1965年布赫斯塔勃等人证明了（1+3）。
到此为止，每迈一步就格外艰难。终于在1973年我国数学家陈景润证明了：偶数=（1+2）。这是在数论研究中一个辉煌的成就。
偶数：（1+2）是证明了，然而偶数=（1+1）又是天外有天、高不可攀，谁来夺取这个桂冠呢？
π之谜
无论是古代的希腊和埃及，还是在古代的中国，人们早就对π有所认识，并且用各种方法去求得它的数值。这一点是并不奇怪的，因为人类最初的数学工具就是“规”和“矩”，最初接触的图形就是方和圆。而随着人类对自然的了解，发现地球是圆的，天体运动也是椭圆的轨道，而这些无不与π有联系。
在我国，早在公元3世纪，刘徽注的《九章算术》中，就采用“割圆术”求得π=3．1416。到了公元6世纪，祖冲之在《缀术》中，对π作了极为精确的计算，他求得π=3．1415926，精确到小数点后7位。以后这个纪录在不断刷新：
1610年，卢道夫，精确到小数点后35位；
1844年，达瑟，精确到小数点后200位；
1949年，马里兰德，精确到小数点后2037位；
1967年，纪劳德和狄山姆，计算到50万位；
1987年，美国数学家计算到2936万位。
除了具体计算π值到多少万位，π也可用一些公式来表示，比如：
约率：π=3+17=227≈3.14
密率：π=3+17+115+1
=3551133．1415926
而更一般的公式可以写为
π=3+17+115+11+1292+11+……
实际上，近代以级数来求π有很多公式：1671年，格里高利，π4=arctg1
1706年，马丁，π4=4arctg15-arctg1239
1794年，勒让德，π4=4arctg15-arctg170+arctg199
1863年，高斯，π4=12arctg118+8arctg157-arctg1239
1896年，斯图莫，π4=6arctg18+2arctg157+arctg1239
人们对于π的认识。逐渐由计算其精确值，转向对π的本身的了解，试图弄清它在数学和物理上的性质。
比如：1794年勒让德证明了π是无理数，1882年林德曼进一步证明π是一个超越数。
又如：人们在探讨，为什么利用蒙特卡罗方法，对缝衣针在纸上任意抛掷，当抛针次数成千上万次以后，它的统计值正好是π值？
至于，π在物理中的含义更是令人深思了；
在力学中，
单摆的振动周期为：T=2π1g
复摆的振动周期为：T=2π1mgh
在分子物理学中，
分子平均自由程：λ=2πkT2πdp
在电学中，
库仑定律，静电力：f=14πε·q1q2r2
在量子力学中，
普朗克公式，绝对黑体辐出度：
MBλ=2πhc2λ-51ehckλT-1
因此，对于π的研究将成为数学、物理的研究中一个永恒的课题。
e之谜
对于有一般数学知识的人来讲，e并不是太陌生的。在对数运算中主要是两种对数：一种是以10为底的对数log10N，一般简单地记作lgN；另一种是以e为底的对数logeN，也可简单地记为InN。
然而，人们是如何发现e的呢？e给我们带来什么好处呢？e又是谁命名的呢？
原来，在1614年英国数学家纳皮尔造出了世界上第一张对数表。这在数学史上是一个伟大的创举，它与笛卡尔的坐标系和牛顿的微积分被誉为17世纪数学上的一大发明。
对数的发明是将乘方或开方的运算转化为乘法或除法的运算，而对于乘法或除法的运算义可转化为加法或减法的运算。因此是数学运算中的一种革新。