著名数学家华罗庚说过：“数是数（shǔ）出来的，一个一个地数（shǔ），因而出现了1，2，3，4，5……”其实，不仅是自然数，其他一些数的引入，也都与物体的度量有关。分数的引入，与度量物体的细小部分有关；无理数的引入，与度量正方形对角线这类长度有关……
16世纪时，数学家们遇到了一种奇怪的数，这种数与物体的度量无关，而且在很长的一段时间里，谁都没能在生活中找到一样事物，说它需要用这种数来刻画。
例如，意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次，他动手解答一道很简单的数学题：“两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？”
卡当设第一个数是X，由于两个数的和是10，他将第二个数记作（10-X）；因为两个数的积是40，于是有
X（X-10）=40，
即X2-10X 40=0.
这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式，只要把方程的系数1、-10、40代入公式里，马上就可以算出方程的两个答案来。可是，当卡当把1、-10、40代入公式后，却算出了两个令人困惑不解的怪东西：5 -15和5--15.
卡当为什么困惑不解呢？
原来，他遇上了负数开平方的情形。“□”是开平方运算的符号，如32=9，则9=3.人们一直认为，负数是不能开平方的，不仅如此，当时的人们对一些正数开平方，如2、15，也认为“仅仅是些记号而已”，不承认它们是一种数。因此，讨论-15就更加没有意义了。
卡当想，既然“15仅仅是些记号而已”，那么，何尝不把-15也看作“是些记号而已”呢？他鼓足勇气，“不管良心会受到多大的责备”，把那两个怪东西当作是两个数，代入题中进行了演算。瞧：
（5 -15） （5--15）=10，
（5 -15）×（5--15）=40，
这两个怪东西正好是题目要求的数！
从这个意义上说，这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪的数学家们，也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”，有一种虚无缥缈的味道，于是就起了个名字叫“虚数”。
尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说：虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。
18世纪下半叶，大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位，例如，-1可以记作i，-15可以记作15i。但是，欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说：“一切形如-1、-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，……它们既不是什么都是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”
其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数，对虚数的性质作出了合理的解释，虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里，对虚数的性质作了详细的叙述，到时候，读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游，这里就不多加介绍了。
需要指出的是，有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。