书城教材教辅必懂的数学知识
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第45章 神秘的两栖物

著名数学家华罗庚说过:“数是数(shǔ)出来的,一个一个地数(shǔ),因而出现了1,2,3,4,5……”其实,不仅是自然数,其他一些数的引入,也都与物体的度量有关。分数的引入,与度量物体的细小部分有关;无理数的引入,与度量正方形对角线这类长度有关……

16世纪时,数学家们遇到了一种奇怪的数,这种数与物体的度量无关,而且在很长的一段时间里,谁都没能在生活中找到一样事物,说它需要用这种数来刻画。

例如,意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次,他动手解答一道很简单的数学题:“两个数的和是10,积是40,问这两个数各是多少?”

卡当设第一个数是X,由于两个数的和是10,他将第二个数记作(10-X);因为两个数的积是40,于是有

X(X-10)=40,

即X2-10X 40=0.

这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式,只要把方程的系数1、-10、40代入公式里,马上就可以算出方程的两个答案来。可是,当卡当把1、-10、40代入公式后,却算出了两个令人困惑不解的怪东西:5 -15和5--15.

卡当为什么困惑不解呢?

原来,他遇上了负数开平方的情形。“□”是开平方运算的符号,如32=9,则9=3.人们一直认为,负数是不能开平方的,不仅如此,当时的人们对一些正数开平方,如2、15,也认为“仅仅是些记号而已”,不承认它们是一种数。因此,讨论-15就更加没有意义了。

卡当想,既然“15仅仅是些记号而已”,那么,何尝不把-15也看作“是些记号而已”呢?他鼓足勇气,“不管良心会受到多大的责备”,把那两个怪东西当作是两个数,代入题中进行了演算。瞧:

(5 -15) (5--15)=10,

(5 -15)×(5--15)=40,

这两个怪东西正好是题目要求的数!

从这个意义上说,这两个怪东西应该是一种数。可是,这是一种什么样的数呢?卡当没有弄清楚,17世纪的数学家们,也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”,有一种虚无缥缈的味道,于是就起了个名字叫“虚数”。

尽管虚数有了数的名称,许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣,他说:虚数是“理想世界的奇异创造”,是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。

18世纪下半叶,大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位,例如,-1可以记作i,-15可以记作15i。但是,欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说:“一切形如-1、-2的数学式,都是不可能有的、想像的数,……它们既不是什么都是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”

其实,虚数并不是虚构的数,其中的秘密,数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数,对虚数的性质作出了合理的解释,虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里,对虚数的性质作了详细的叙述,到时候,读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游,这里就不多加介绍了。

需要指出的是,有了虚数之后,整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外,任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除,以及乘方和开方了。