书城教材教辅必听的数学之谜
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第118章 何为三角剖分

三角剖分是代数拓扑学里最基本的研究方法。以曲面为例,我们把曲面剖开成一块块碎片,要求满足下面条件:

(1)每块碎片都是曲边三角形;

(2)曲面上任何两个这样的曲边三角形,要么不相交,要么恰好相交于一条公共边(不能同时交两条或两条以上的边)

拓扑学的一个已知事实告诉我们:任何曲面都存在三角剖分。

假设曲面上有一个三角剖分,我们把所有三角形的顶点总个数记为p(公共顶点只看成一个,下同),边数记为а,三角形的个数记为n,则e=p-а n是曲面的拓扑不变量!也就是说不管是什么剖分,e总是得到相同的数值。e被称为称为欧拉示性数。

假设g是曲面上洞眼的个数(比如球面没有洞,故g=0;又如环面有一个洞,故g=1),那么e=2-2g。

g也是拓扑不变量,称为曲面的亏格。

上面例举曲面的情形。对一般的拓扑对象(复形),我们有类似的剖分,通常成为单纯剖分。分割出的每块碎片称为单纯形。