此法的缺点是：先将代表复合数的齿全掰掉了。因为素数的存在是微弱地依附着较小素数及其倍数的复合数，而这点儿微弱的痕迹也给掰掉了。而这个问题，又不能从概率的办法解决，因为素数不是正态分析，而是一个确定的问题。所以他们就将ｘ确定为一定值，再每两个齿一错位。这样，一个用有限问题企图解决无限问题，当然是极其困难的。尽管如此，仍有一些人在艰苦地攀登。所以后来，他们把大于某一个很大的数（例如ｋ０＝ｅ４９ｃ)偶数，叫做大偶数，再将任一大偶数Ｎ（Ｎ＞Ｋ０)写成自然数Ｎ１与Ｎ２之和，即Ｎ＝Ｎ１＋Ｎ２。而Ｎ１与Ｎ２里素因数这个数，分别不多于ｓ与ｔ个。故简记为（ｓ，ｔ），或写成带引号的加法：“ｓ＋ｔ”，此时Ｎ１与Ｎ２可以叫做殆（接近）素数，然后将ｓ与ｔ值逐步缩小。如果一旦将ｓ，ｔ均计算到１，那时再来证明５×１０８Ｎｅ４９ ｃ时，（１，１）成立。这样，（１，１）问题即解决了。但是，至今没有最后解决。现将当前世界取得的名次结果，列表如下：
（s，t）年代结果获得者国别
（9，9）1920布龙挪威
（7，7）1924雷特马赫德
（6，6）1932埃司特曼英
（5，7），（4，9）1937蕾西意
（3，15），（2，366）1937蕾西
（5，5）1938布赫夕太勒前苏联
（4，4）1940布赫夕太勒
（1，C很大）1948瑞尼匈
（3，4）1956王元中
（3，3），（2，3）1957王元
（1，5）1962潘承洞中
巴尔巴恩前苏联
（1，4）1962王元
（1，4）1963潘承洞
巴尔巴恩
（1，3）1963布赫夕太勒
（小）维诺格拉朵夫前苏联
波皮里意
（1，2）1973陈景润中
按照华林原来的猜测，ｇ（２）＝４，ｇ（３）＝９，ｇ（４）＝１９。一般地猜测：
ｇ（ｋ)＝２ｋ＋〔（x)ｋ〕－２（１)
其中〔ｘ〕表示ｘ的整数部分。
经过许多数学家的努力，除去ｋ＝４外，（１）已被证明，其中ｇ（５）＝３７是我国科学家陈景润于１９６４年证明的。
对于ｋ＝４，目前已经证明：
１９ｇ（４）２１，
并且在ｎ１０３１０或ｎ＞１０１４０９时，ｎ可以表示为１９个４次方的和。这已经接近于预期的目标ｇ（４）＝１９了。
人们还发现，当自然数充分大时，可以将它表为Ｇ（ｋ）个Ｋ次幂的和，这里Ｇ（ｋ）ｇ（ｋ）。实际上，Ｇ（ｋ）比ｇ（ｋ)小得多（当ｋ大的时候）。目前仅仅知道Ｇ（２）＝４，Ｇ（４）＝１９。对Ｇ（ｋ）进行估计是一个很艰难的问题。
回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人，如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的语言叫做回文，比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲爱毛毛”，一般说来，回文是以字为单位的，也可以以词为单位写回文，回文与数学里的对称非常相似。
如果一个数，从左右两个方向来读都一样，就叫它为回文数，比如１０１，３２１２３，９９９９等都是回文数。
数学里有个有名的“回数猜想”，至今没有解决，取一个任意的十进制数，把它倒过来，并将这两个数相加，然后把这个和数再倒过来，与原来的和数相加，重复这个过程直到获得一个回文数为止。
例如６８，只要按上面介绍的方法，三步就可以得回文数１１１１。
68+86154+451605+5061111
“回数猜想”是说：不论开始时采用什么数，在经过有限步骤之后，一定可以得到一个回文数。
还没有人能确定这个猜想是对的还是错的，１９６这个三位数可能成为说明“回数猜想”不成立的反例，因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文数，但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家对同时是质数的回文数进行了研究，数学家相信回文质数有无穷多个，但是还没有人能证明这种想法是对的。
数学家还猜想有无穷个回文质数时，比如３０１０３和３０２０３，它们的特点是，中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。除１１外必须有奇数个数字，因为每个有偶数个数字的回文数，必然是１１的倍数，所以它不是质数，比如１２５５２１是一个有６位数字的回文数，按着判断能被１１整除的方法：它的所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是１１的倍数，那么这个数就能被１１整除，１２５５２１的偶数位数字是１，５，２；而奇数位数字是２，５，1，它们和的差是（１＋５＋２）－（２＋５＋１）＝０，是１１的倍数，所以１２５５２１可以被１１整除，且１２５５２１÷１１＝１１４１１。
因而１２５５２１不是质数。
在回文数中平方数是非常多的，比如，
１２１＝１１２，
１２３２１＝１１１２，
１２３４３２１＝１１１１２，
……
１２３４５６７８９８７６５４３２１＝１１１１１１１１１２，
你随意找一些回文数，平方数所占的比例比较大。
立方数也有类似情况，比如，１３３１＝１１３，１３６７６３１＝１１１３
这么有趣的回文数，至今还存在着许多不解之谜。
冰雹猜想
３０多年前，日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象：一个自然数，如果它是偶数，那么用２除它；如果商是奇数，将它乘以３之后再加上１，这样反复运算，最终必然得１。
比如，取自然数Ｎ＝６，按角谷静的作法有：６÷２＝３，３×３＋１＝１０，１０÷２＝５，５×３＋１＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，从６开始经历了３→１０→５→１６→８→４→２→１，最后得１。
找个大数试试，取Ｎ＝１６３８４。
１６３８４÷２＝８１９２，８１９２÷２＝４０９６，４０９６÷２＝２０４８，２０４８÷２＝１０２４，１０２４÷２＝５１２，５１２÷２＝２５６，２５６÷２＝１２８，１２８÷２＝６４，６４÷２＝３２，３２÷２＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，这个数连续用２除了１４次，最后还是得１。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣，一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现，算出来的数字忽大忽小，有的过程很长，比如２７算到１要经过１１２步，有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了１！选数学家把角谷静这一发现，称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。
这一串串数难道一点规律也没有吗？观察前面作过的两串数：
６→３→１０→５→１６→８→４→２→１；
１６３８４→８１９２→４０９６→２０４８→１０２４→５１２→２５６→１２８→６４→３２→１６→８→３→２→１。
最后的三个数都是４→２→１。
为了验证这个事实，从１开始算一下：
３×１＋１＝４，４÷２＝２，２÷２＝１。结果是１→４→２→１，转了一个小循环又回到了１，这个事实具有普遍性，不论从什么样自然数开始，经过了漫长的历程，最终必然掉进４→２→１这个循环中去，日本东京大学的米田信夫对从１到１０９９５亿１１６２万７７７６之间的所有自然数逐一做了检验，发现它们无一例外，最后都落入了４→２→１循环之中！
计算再多的数，也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。
其实，能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”，下面再介绍一个：
随便找一个四位数，将它的每一位数字都平方，然后相加得到一个答数；将答数的每一位数字再都平方，相加……一直这样算下去，就会产生循环现象。
现在以１９９８为例：
１２＋９２＋９２＋８２＝１＋８１＋８１＋６４＝２２７，
２２＋２２＋７２＝４＋４＋４９＝５７，
５２＋７２＝２５＋４９＝７４，
７２＋４２＝４９＋１６＝６５，
６２＋５２＝３６＋２５＝６１，
６２＋１２＝３６＋１＝３７，
３２＋７２＝９＋４９＝５８，
５２＋８２＝２５＋６４＝８９。
下面再经过八步，就又出现８９，从而产生了循环：
千古之谜
现代数论的创始人、法国大数学家费尔马（１６０１-１６６５），对不定方程极感兴趣，他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记。在第二卷问题８“给出一个平方数，把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处，他写道：“另一方面，一个立方不可能写成两个立方的和，一个四方不可能写成两个四方的和。一般地，每个大于２的幂不可能写成两个同次幂的和。”
换句话说，在ｎ＞２时，
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（１)
没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。
“关于这个命题”，费尔马说：“我有一个奇妙的证明，但这里的空白太小了，写不下。”
人们始终未能找到弗尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡，至今未能攻克。所以，费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中，只找到了关于方程
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４（２）
无正整数解的证明，恐怕他真正证明的“大定理”也就是这ｎ＝４的特殊情况。
既然（２）无正整数解，那么方程
ｘ４ｋ＋ｙ４ｋ＝ｚ４ｋ（３）
无解（如果（３）有解，即有正整数ｘ０，ｙ０，ｚ０使
ｘ０４ｋ＋ｙ０４ｋ＝ｚ０４ｋ（３)
那么（ｘ０ｋ）４＋（ｙ０ｋ）４＝（ｚ０ｋ）４
这与（２）无解矛盾！
同理，我们只要证明对于奇素数Ｐ，不定方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ（４）
无正整数解，那么费尔马大定理成立（因为每个整数ｎ＞２，或者被４整除，或者有一个奇素数ｐ是它的因数）。
（４）的证明十分困难。在费尔马逝世以后９０多年，欧拉迈出了第一步。他在１７５３年８月４日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在ｐ＝３时，（４）无解。但他发现对ｐ＝３的证明与对ｎ＝４的证时截然不同。他认为一般的证明（即证明（４）对所有的素数ｐ无正整数解）是十分遥远的。
一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼（１７７６-１８３１）为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程ｘ５＋ｙ５＝ｚ５有解，那么５｜ｘｙｚ。”
人们习惯把方程（４）的讨论分成两种情况。即：如果方程ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
如果方程ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第二种情况的费尔马大定理成立。
因此，吉尔曼证明了ｐ＝５，第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了：如果ｐ与２ｐ＋１都是奇素数，那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于１００的奇素数ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
在欧拉解决ｐ＝３以后的９０余年里，尽管许多数学家企图证明费尔马大定理，但成绩甚微。除吉尔曼的结果外，只解决了ｐ＝５与ｐ＝７的情况。
攻克ｐ＝５的荣誉由两位数学家分享，一位是刚满２０岁、初出茅庐的狄利克雷，另一位是年逾７０已享盛名的勒仕德。他们分别在１８２５年９月和１１月完成了这个证明。
ｐ＝７是法国数学家拉梅在１８３９年证明的。
这样对每个奇素数ｐ逐一进行处理，难度越来越大，而且不能对所有的ｐ解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的ｐ或者至少对一批ｐ，证明费尔马大定理成立呢？德国数学家库麦尔创立了一种新方法，用新的深刻的观点来看费尔马大定理，给一般情况的解决带来了希望。
库麦尔利用理想理论，证明了对于ｐ１００费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩，在１８５７年给他奖金３０００法郎。
库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系，他引进了正规素数的概念：如果素数ｐ不整除Ｂ２，Ｂ４……Ｂｐ－３的分母，ｐ就称为正规素数，如果ｐ整除Ｂ２，Ｂ４……Ｂｐ－３中某一个的分母就称为非正规素数。例如５是正规数，因为Ｂ２的分母是６而５×６。７也是正规素数，因为Ｂ２的分母是６，Ｂ４的分母是３０，而７×６，７×３０。
１８５０年，库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立，这一下子证明了对一大批素数ｐ，费尔马大定理成立。他发现在１００以内只有３７、５９、６７是非正规素数，在对这三个数进行特别处理后，他证明了对于ｐ１００，费尔马大定理成立。
正规素数到底有多少？库麦尔猜测有无限个，但这一猜测一直未能证明。有趣的是，１９５３年，卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。
近年来，对费尔马大定理的研究取得了重大进展。１９８３年，西德的伐尔廷斯证明了“代数数域Ｋ上的（非退化的）曲线Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，在出格ｇ＞１时，至多有有限多个Ｋ点。”
作为它的特殊情况，有理数域Ｑ上的曲线ｘｎ＋ｙｎ－１＝０（５）在亏格ｇ＞１时，至多有有限多个有理点。
这里亏格ｇ是一个几何量，对于曲线（５），ｇ可用g=（n-1）(n-2)2来计算，由（６）可知在ｎ＞３时，（５）的亏格大于１，因而至多有有限多个有理点（ｘ，ｙ）满足（５）。
方程
ｘｎ＋ｙｎ＝２ｎ
可以化成
x2n+y4n-1=0
改记x2，y2为（ｘ，ｙ），则（７）就变成（５）。因此由（５）只有有限多个有理数解ｘ、ｙ，立即得出（１）只有有限多个正整数解ｘ、ｙ、ｚ，但这里把ｘ、ｙ、ｚ与ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ（ｋ为正整数）算作同一组解。
因此，即使费尔马大定理对某个ｎ不成立，方程（７）有正整数解，但解也至多有有限组。
１９８４年，艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个ｐ成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果：有无穷多个对素数ｐ与ｑ，满足ｑ｜ｐ－１及ｑ＞ｐ２／３个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上，后者引起了不少数论问题的突破。
现在还不能肯定费尔马大定理一定正确，尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在１９７７年证明了对于ｐ１２５０００，大定理成立。最近，罗寒进一步证明了对于ｐ４１００万，大定理成立。但是，费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例，大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。
五家共井
我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第８章第１３题就是“五家共井”问题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比２条甲家绳长还多１条乙家绳长；比３条乙家绳长还多１条丙家绳长；比４条丙家绳长还多１条丁家绳长；比５条丁家绳长还多１条戊家绳长；比６条戊家绳长还多１条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。
用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；井深为ｈ。根据题意，可得2x+y=h，3y+z=h，4z+u=h，5u+v=h，6v+x=h。
这是一个含有６个未知数、５个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得x=265721h，y=191721h，z=148721h，u=129721h，v=76721h。
给定ｈ不同的数值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。
我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元２５０年左右才研究这些问题，要比我国迟２００多年。
公元６世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果１只公鸡值５个钱；１只母鸡值３个钱；３只小鸡值１个钱。现用１００个钱，买了１００只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
设公鸡、母鸡、小鸡分别为ｘ、ｙ、ｚ只，则可得不定方程消去ｚ不难得出5x+3y+13z=100x+y+z=100消去ｚ不难得出y=7x4因为ｙ是正整数，所以ｘ必须是４的倍数。
设ｘ＝４ｔ，则ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
ｘ＞０，４ｔ＞０，ｔ＞０；
又ｙ＞０，２５－７ｔ＞０，ｔ347
故ｔ＝１，２，３。
原方程组有三组答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８ {ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１ {ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买７只母鸡，就可多买４只公鸡和３只小鸡。因为７只母鸡值钱２１，４只公鸡值钱２０，两者相差３只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
７世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用１００个钱买母鸡和小鸡共１００只，得母鸡２５只、小鸡７５只。现在少买７只母鸡，多买４只公鸡和３只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到１９世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。
速度趣题
１．自行车和苍蝇