古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规，于是，从一些本来很简单的几何作图题中，产生了一批着名的数学难题。除了前面讲过的三等分角问题和立方倍积问题之外，还有一个举世闻名的几何作图难题，叫做化圆为方问题。
据说，最先研究这个问题的人，是一个叫安拉克萨哥拉的古希腊学者。
安拉克萨哥拉生活在公元前5世纪，对数学和哲学都有一定的贡献。有一次，他对别人说：“太阳并不是一尊神，而是一个像希腊那样大的火球。”结果被他的仇人抓住把柄，说他亵读神灵，给抓进了牢房。
为了打发寂寞无聊的铁窗生涯，安拉克萨哥拉专心致志地思考过这样一个数学问题：怎样作出一个正方形，才能使它的面积与某个已知圆的面积相等？这就是化圆为方问题。
当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。
有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾被化圆为方问题所吸引过。几乎在每一年里，都有数学家欣喜若狂地宣称：我解决了化圆为方问题！可是不久，人们就发现，在他们的作图过程中，不是在这里就是在那里有着一点小小的，但却是无法改正的错误，随之爆发出一阵阵善意的笑声。
化圆为方问题看上去这样容易，却使那么多的数学家都束手无策，真是不可思议！
年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国的科学院，多得叫科学家们无法审读。1775年，法国巴黎科学院还专门召开了一次会议，讨论这些论文给科学院正常工作造成的“麻烦”，会议通过了一项决议，决定不再审读有关化圆为方问题的论文。
然而，审读也罢，不审读也罢，化圆为方问题以其特有的魅力，依旧吸引着成千上万的人。它不仅吸引了众多的数学家，也让众多的数学爱好者为之神魂颠倒。15世纪时，连欧洲最着名的艺术大师达·芬奇，也曾拿起直尺与圆规，尝试解答过这个问题。
达·芬奇的作图方法很有趣。他首先动手做一个圆柱体，让这个圆柱体的高恰好等于底面圆半径r的一半，底面那个圆的面积是πr2。然后，达·芬奇将这个圆柱体在纸上滚动一周，在纸上得到一个矩形，这个矩形的长是2πr，宽是r／2，面积是πr2，正好等于圆柱底面圆的面积。
经过上面这一步，达·芬奇已经将圆“化”为一个矩形，接下来，只要再将这个矩形改画成一个与它面积相等的正方形，就可以达到“化圆为方”的目的。
达·芬奇解决了化圆为方问题吗？没有，因为他除了使用直尺和圆规之外，还让一个圆柱体在纸上滚来滚去。在尺规作图法中，这显然是一个不能容许的“犯规”动作。
与其他的两个几何作图难题一样，化圆为方问题也不能由尺规作图法完成。这个结论是德国数学家林德曼于1882年宣布的。
林德曼是怎样得出这样一个结论的呢？说起来，还与大家熟悉的圆周率π有关呢。
假设已知圆的半径为r，它的面积就是πr2；如果要作的那个正方形边长是X，它的面积就是X2。要使这两个图形的面积相等，必须有。
X2＝πr2即X＝πr。
于是，能不能化圆为方，就归结为能不能用尺规作出一条像πr那样长的线段来。
数学家们已经证明：如果π是一个有理数，像πr这样长的线段肯定能由尺规作图法画出来；如果π是一个“超越数”，那么，这样的线段就肯定不能由尺规作图法画出来。
林德曼的伟大功绩，恰恰就在于他最先证明了π是一个超越数，从而最先确认了化圆为方问题是不能由尺规作图法解决的。
三大几何作图难题让人类苦苦思索了2000多年，研究这些数学难题有什么意义呢？
有人说，如果把数学比作是一块瓜田，那么，一个数学难题，就像是瓜叶下偶尔显露出来的一节瓜藤，它的周围都被瓜叶遮盖了，不知道还有多长的藤，也不知道还有多少颗瓜。但是，抓住了这节瓜藤，就有可能拽出更长的藤，拽出一连串的数学成果来。
数学难题的本身，往往并没有什么了不起。但是，要想解决它，就必须发明更普遍、更强有力的数学方法来，于是推动着人们去寻觅新的数学手段。例如，通过深入研究三大几何作图难题，开创了对圆锥曲线的研究，发现了尺规作图的判别准则，后来又有代数数和群论的方程论若干部分的发展，这些，都对数学发展产生了巨大的影响。
你能算出哪一天是星期几吗
如果你要想知道历史上一些重要日子，或是未来随便哪一天是星期几，不翻日历，能计算出来吗？
根据历法原理，按照下面的公式计算，就可以知道某年、某月、某日是星期几了。
这个公式是：
S＝x－1＋x－14－x－1100＋x－1400＋C。
这里x是公元的年数，C是从这一年的元旦算到这天为止（连这一天也在内）的日数。x－14表示为x－14的整数部分；在计算S时，三个分数式只要商数的整数部分，余数略去不计，再把其它几项依次加减，就可得到S。
求出S以后，用7除；如果恰能除尽，这一天一定是星期日；若余数是1，那么这一天是星期一；余数是2，这一天就是星期二，依此类推。
例1：1921年7月1日，中国共产党在上海成立。你可知道1921年7月1日是星期几？
按上面的公式，可得：
S＝1921－1＋1921－14－1921－1100＋1921－1400＋(31＋28＋31＋30＋31＋30＋1)＝1920＋480－19＋4＋182＝2567。
2567÷7＝366……5。
所以1921年7月1日是星期五。
例2：1949年10月1日是伟大的中华人民共和国成立的日子，这一天是星期几？
按上面公式计算，可以知道：
S＝1949－1＋1949－14－1949－1100＋1949－1400＋(31＋28＋31＋30＋31＋30＋31＋30＋1)＝1948＋487－19＋4＋274＝2694。
2694÷7＝384……6。
所以1949年10月1日是星期六。
例3：1984年元旦是星期几？
按上面公式可得：
S＝1984－1＋1984－14－1984－1100＋1984－1400＋1＝1983＋495－19＋4＋1＝2464。
2464÷7＝352。
所以1984年元旦是星期日。
中国剩余定理
古时候，我国有一部很重要的数学着作，叫《孙子算经》。书中的许多古算题，如“物不知数”问题、“鸡兔同笼”问题等等，都编得饶有情趣，1000多年来，一直在国内外广为流传。其中，尤以物不知数问题最为着名。
物不知数问题的大意是：“有一堆物体，不知道它的数目。如果每3个一数，最后会剩下2个；每5个一数，最后会剩3个；每7个一数，最后会剩下2个。求这堆物体的数目。”
这是一个不定方程问题，答案有无穷多组。按照现代解不定方程的一般步骤，解答起来是比较麻烦的。而若按照我国古代人民发明的一种算法，解答起来就简单得出奇。有人将这种奇妙的算法编成了一首歌谣：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
歌谣里隐含着70、21、15、105这4个数。只要记住这4个数，算出物不知数问题的答案就轻而易举了。尤其可贵的是，这种奇妙的算法具有普遍的意义，只要是同一类型的题目，都可以用这种方法去解答。
《孙子算经》最先详细介绍了这种奇妙的算法。书中说：凡是每3个一数最后剩下1个，就取70；每5个一数最后剩1个，就取21；每7个一数最后剩下1个，就取15。把它们加起来，如果得数比106大，就减去105。最后求出的数就是所有答案中最小的一个。
在物不知数问题里，每3个一数最后剩2，应该取2个70；每5个一数最后剩3，应该取3个21；每7个一数最后剩2，应该取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15等于233，比106大，应该减去105；相减后得128，仍比106大，应该再减去105，得23。瞧，只需寥寥几步，我们就算出了题目的答案。
这种奇妙的算法有许多有趣的名称，如“鬼谷算”、“韩信大点兵”、“秦王暗点兵”等等，并被编成许多有趣的数学故事。它于12世纪末就流传到了欧洲国家。
可是，13世纪下半叶，我国数学家秦九韶遇到了一个与物不知数问题很相似的题目，却不能用这种奇妙的算法来解答。
秦九韶遇到的题目叫“余米推数”问题，在数学史上也很名。它有一种有趣的表述形式。
一天夜里，一群盗贼洗劫了一家米店，放在店堂里的3箩米几乎被席卷一空。第二天，官府派人勘查了现场，发现3个箩一样大，中间那个箩里还剩下14合米，而两边的箩里只剩下1合米了。
盗贼偷走了多少米呢？店主不记得每个萝里装了多少米，只记得它们装得一样多。
后来，行窃的3个盗贼都被抓住了。可是，他们也不知道偷了多少米。那天晚上，店堂里漆黑一团，盗贼甲摸到了一个马勺，用它从左边那个箩里舀米；盗贼乙摸到一个木鞋，用它从中间那个箩里舀米；盗贼丙摸到一个漆碗，用它从右边那个箩里舀米。盗贼们不记得舀了多少次，只记得每次都正好舀满，舀完最后一次后，箩里剩下的米都已不够再舀一次了。
在米店里，人们找到马勺、木鞋和漆碗，发现马勺一次能舀19合米，木鞋一次能舀17合米，而漆碗一次只能舀12合米。问米店共被窃走多少米，3个盗贼各盗窃了多少米？
为什么说余米推数问题与物不知数问题很相似呢？如果把米店被窃走的米数看作是一堆物体，这个题目实际上就是：
有一堆物体，不知道它的数目。如果每19个一数，最后剩下1个，每17个一数，最后剩14个，每12个一数，最后剩下1个。求这堆物体的数目。
秦九韶想，既然这两个题目很相似，那么，它们的解法也应该很相似。“鬼谷算”解答不了余米推数问题，说明它还不够完善，于是他深入探索了古代算法的奥秘，经过苦心钻研，终于在古代算法的基础上，创造出一种更普遍、更强有力的奇妙算法。
这种新算法也就是驰名世界的“大衍求一术”，它是我国古代数学里最有独创性的成就之一。国外直到19世纪，才由大数学家高斯发现同样的定理。因此，这个定理也就被人叫做“中国剩余定理”。
秦九韶也因此获得了不朽的声誉。西方着名数学史专家萨顿，对秦九韶创造性的工作给予了极高的评价，称赞秦九韶是“他的民族、他的时代以至一切时期的最伟大的数学家之一”。
数学怎样跌进“黑洞”
我们来作一个有趣的数字游戏：请你随手写出一个三位数（要求三位数字不完全相同），然后按照数字从大到小的顺序，把三位数字重新排列，得到一个新数。接下来，再把所得的数的数字顺序颠倒一下，又得到一个新数。把两个新数的差作为一个新的三位数，再重复上述的步骤。继续不停地重复下去，你会得到什么样的结果呢？
例如323，第一个新数是332，第二个新数是是233，它们的差是099（注意以0开头的数，也得看成是一个三位数）；接下来，990－099＝891；981－189＝792；972－279＝693；963－369＝594；954－459＝495；954－459＝495；……这种不断重复同一操作的过程，在计算机上被称为“迭代”。有趣的是，经过几次迭代之后，三位数最后都会停在495这个数上。
那么对于四位数，是不是也会出现这种情况呢？结果是肯定的，最后都会停在6174这个数上。它仿佛是数的“黑洞”，任何数字不完全相同的四位数，经过上述的“重排”和“求差”运算之后，都会跌进这个“黑洞”——6174，再也出不来了。
前苏联作家高基莫夫在其所着的《数学的敏感》一书中，曾把它列作“没有揭开的秘密”。
有时候，“黑洞”并不仅只有一个数，而是有好几个数，像走马灯一样兜圈子，又仿佛孙悟空跌进了如来佛的手掌心。
例如，对于五位数，已经发现了两个“圈”，它们分别是{63954，61974，82962，75933}与{62964，71973，83952，74943}。有兴趣的读者不妨自己验证一下。
破碎砝码的妙用
一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块，恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这4块碎片的重量各是多少？
这就是着名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。
他是这样演绎的：
首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出1到n的所有整数磅重物(这时这些砝码重量的和也一定为n磅)。另设有一块砝码，它的重量为m磅(m＝2n＋1)，那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n＋1的所有整数磅的重物。
因为，原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n＋1到2n＋1磅的所有整数磅重物。
由此可判定这4块砝码的重量：
第一块砝码取m1＝1(磅)第二块砝码取m2＝2×1＋1＝3(磅)第三块砝码取m3＝2(1＋3)＋1＝9(磅)第四块砝码取m4＝2(1＋3＋9)＋1＝27(磅)用这4块砝码可秤从1到(1＋3＋9＋27)＝40磅间的任何一个整数磅重物。